Konvergenz

25.05.2004, 20:44	Quese	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Die Funktionenfolgen (f k) k natürliche Zahl und (g k) k natürliche Zahl seien auf D gleichmäßig konvergent mit den Grenzfunktionen f bzw. g. Sei h(x):= f(x)g(x) und das gleiche gilt für (h k)(x), d.h. Folge h, sorry mit dem formeleditor läßt es sich nicht schreiben. jedenfalls ist (h k)(x):=(f k)(x)(g k)(x). Zu zeigen ist, dass (h k) k elemnet N gleichmäßig gegen h konvergeiert, falls es eine Konstante M>0 gibt mit \|(f k)(x)\| <=M und das gleiche für (g k)(x) für alle x element D und k element N hab keine ahnung, wie man das macht tut mir leid, dass ich es nicht besser aufschreiben kann hoffe man kann mir trotzdem helfen
25.05.2004, 21:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} \|\|f_k\|\|_D \leq M \end{align}$ und $\begin{align} \|\|g_k\|\|_D \leq M \end{align}$ für alle $\begin{align} k\in\calN \end{align}$ . Dabei sei $\begin{align} \|\| \cdot \|\|_D \end{align}$ die Supremumsnorm auf ganz D. Wegen der Stetigkeit der Norm folgt $\begin{align} \|\| g \|\|_D = \|\| \lim g_k \|\|_D = \lim \|\|g_k\|\|_D \leq M \end{align}$ . Es sei nun $\begin{align} \varepsilon > 0 \end{align}$ gegeben. Es gibt dann ein $\begin{align} K\in\calN \end{align}$ , so dass $\begin{align} \|\| f_k - f \|\|_D < \frac{\varepsilon}{2M} \end{align}$ und $\begin{align} \|\| g_k - g \|\|_D < \frac{\varepsilon}{2M} \end{align}$ für alle $\begin{align} k \geq K \end{align}$ . Weiter ist $\begin{align} h_k - h = f_k (g_k - g) + (f_k - f) g \end{align}$ . Damit folgt: $\begin{align} \|\| h_k - h \|\|_D \end{align}$ $\begin{align} = \|\| f_k (g_k - g) + (f_k - f) g \|\|_D \end{align}$ $\begin{align} \leq \|\| f_k (g_k - g) \|\|_D + \|\| (f_k - f) g \|\|_D \end{align}$ $\begin{align} = \sup_{x\in D} \|f_k(x) (g_k(x) - g(x))\| + \sup_{x\in D} \|(f_k(x) - f(x)) g(x)\| \end{align}$ $\begin{align} = \sup_{x\in D} \|f_k(x)\| \cdot \|g_k(x) - g(x)\| + \sup_{x\in D} \|f_k(x) - f(x)\| \cdot \|g(x)\| \end{align}$ $\begin{align} \leq M \cdot \sup_{x\in D} \|g_k(x) - g(x)\| + M \cdot \sup_{x\in D} \|f_k(x) - f(x)\| \end{align}$ $\begin{align} = M \cdot \|\|g_k - g\|\|_D + M \cdot \|\|f_k - f\|\|_D \end{align}$ $\begin{align} < \varepsilon / 2 + \varepsilon / 2 \end{align}$ $\begin{align} = \varepsilon \end{align}$ für alle $\begin{align} k \geq K \end{align}$ . Das zeigt die gleichmäßige Konvergenz von $\begin{align} (h_k) \end{align}$ gegen $\begin{align} h \end{align}$ .

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