ein neuer Satz?

15.06.2006, 08:43

Voessli

ein neuer Satz?

Man nehme eine gleichwinklige Figur (bspw. ein gleichseitiges Dreieck, Quadrat .. Kreis). Daraus forme man einen prismaartigen Körper mit der Höhe h. h soll genauso groß sein wie der Innenkreisdurchmesser der Figur (für das Quadrat wäre dies die Seitenlänge, für den Kreis der Durchmesser ect.)

Die Mantelfläche dieses Prismas (Zylinder, Würfel ect..) ist genau 4 mal so groß wie die Grundfläche.

15.06.2006, 09:56

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Zitat:

Original von Voessli
ein neuer Satz?

Ich würde es eher als Folgerung bezeichnen. Wobei noch zu präzisieren ist, was du alles an Grundflächen zulässt: Kreise sowie konvexe Polygone mit Inkreis - noch mehr?

15.06.2006, 19:30

Voessli

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Ich meine alle regelmäßigen Vielecke (Isogone).
Allgemeiner ausgedrückt: Das Verhälnis von Umkreis zu Flächeninhalt eines Isogons ist gleich dem Verhältnis von Umkreis zu Flächeninhalt seines Innenkreises.
Man könnte es für jedes n-Isogon einzeln zeigen aber gibt es für alle Isogone einen einheiltlichen Beweiß?

15.06.2006, 19:39

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Ja klar - die Polygone müssen nicht mal regelmäßig sein, wichtig ist nur, dass der Inkreis auch wirklich alle Seiten des Polygons berührt. Ich weiß jetzt nicht, ob es dafür eine Bezeichnung gibt, "Tangentenvieleck" wäre ganz passend (in Anlehnung an den Fall n=4: Tangentenviereck).

Du kannst das Polygon ganz einfach in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Dreiecke zerlegen, bestehend jeweils aus zwei benachbarten Eckpunkten und dem Inkreismittelpunkt. Dann erhält man mit der entsprechenden Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sowie Inkreisradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die Fläche $\begin{eqnarray*} F_i=\frac{a_ir}{2} \end{eqnarray*}$ für dieses Teildreieck. Summation ergibt

$\begin{eqnarray*} F = \sum_{i=1}^n F_i = \sum_{i=1}^n \frac{a_ir}{2} = \frac{r}{2} \sum_{i=1}^n a_i = \frac{ru}{2} \end{eqnarray*}$

mit Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und Umfang $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ des Gesamtpolygons. Und das ist im wesentlichen deine Prismenaussage, denn dort ist die Mantelfläche $\begin{eqnarray*} F_M=ud=2ur \end{eqnarray*}$ mit Inkreisdurchmesser $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Schreibfehler.

16.06.2006, 17:59

riwe

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dann schlagen wir ihn halt für die fieldsmedaille vor Big Laugh

werner

17.06.2006, 00:27

Voessli

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Besten Dank Leopold!
ich hatte übersehen daß die Höhe der Dreiecke immer gleich dem Radius ist..

Was mir immer noch den Kopf zerbricht ist die Zerlegung oder topologische Transformation einer Zylinder-mantelfläche zu einer Kugeloberfläche.
Diese beiden Flächen sind nämlich dann genau gleichgroß wenn der Zylinder den Radius r und die Höhe 2*r hat..