Punktsymmetrie gebrochen rationaler funktionen

12.09.2008, 18:45

Skyper

Punktsymmetrie gebrochen rationaler funktionen

es gibt ja die bedingung f(-x)=-f(x) bei der punktsymetrie im ursprung herrscht. gibt es da auch noch eine methode um allgemeine punktsymetrie gebrochen rationaler zahlen zu überprüfen??

vielen DANK!!

12.09.2008, 22:38

mYthos

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Nein, bei gebrochen rationalen Zahlen denke ich nicht!
Falls du gebrochen rationale Funktionen meinst, gibt es vorab mal hier im Board einige schöne Threads, die diese Frage behandeln.

Konkretisiere eventuell dein Problem an Hand eines Beispiels!

mY+

12.09.2008, 22:48

Skyper

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ne gebrochenrational :-) ich dachte mir man kann die ja zum ursprung berechnen, dann muss man die funktion doch nur soweit verschieben dass der symetriepunkt im ursprung liegt ... verwirrt

und dann die regel anwenden .. würde irgendwie soetwas gehen??

12.09.2008, 22:53

Jacques

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Hallo,

Hast Du jetzt schonmal nach Threads zu diesem Thema gesucht? Schau doch z. B. mal hier:

symmetrie bei gebrochen rationalen funktionen

12.09.2008, 23:09

Skyper

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ja, die sache ist ja die, dass ich nicht nur wissen will ob eine funktion punktsymmetrisch zum ursprung ist, sondern ob sie allgemein punktsymmetrisch ist.

12.09.2008, 23:14

mYthos

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Auch dazu gibt es hier im Board etwas ....

Gut zu sehen z.B. in nachweisen / beschreibung punktsymmetrie

mY+

13.09.2008, 11:16

Skyper

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okay, hat mir aufjedenfall schon mal weitergeholfen, so ganz klar ist mir jetzt allerdings dennoch nicht, wie ich vorgehen muss um allgemeine punktsymmetrie zu überprüfen.
hier wie ich jetzt starten würde:
ich würde zunächst den schnittpunkt von polgerade und asymptote berechnen. dieser müsste dann doch der punkt sein, zu dem eine punktsymetrie vorliegt (falls es eine gibt) dann würde ich dessen y wert (a) und x wert b wie folgt in die prüfung nach punktsymetrie einbauen:

a- f(-x+b) = -f(x-b) - a

verwirrt

ohh gott, das ist viel zur wirr

13.09.2008, 13:43

Skyper

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aaalso nochmal.
ich würde gerne die allgemeine symmetrie für (1-x^2)/(x-2) überprüfen.
ich gehe davon aus (korrigiert mich falls falsch) das wenn eine punktsymmetrie herrscht, der symmetriepunkt immer der schnittpunkt von polgerade und asymptote ist.
diesen habe ich errechnet und kam auf x=2 y=-4 lässt sich auch unter http://rechneronline.de/funktionsgraphen/ überprüfen.

okay, dann habe ich die funktion so verschoben, dass der symmetriepunkt im ursprung liegt:

f(x+2)+4

dann dachte ich mir, kann ich doch für diese funktion überprüfen ob eine punktsymmetrie zum ursprung herrscht.

also ob:

f(-x+2)+4 = - (f(x+2)+4)

f(-x+2)+4 = ((-1-(-x+2)^2)/-x+2)-2)+4

leider gelang es mir nicht ganz "-" für den ganzen begriff auszuklammern.

ich komme dann immer auf folgenden ausdruck: -(((-1+(x-2)^2)/((x-2)+2)+4))

dieser ist allerdings nicht der gleiche wie -(f(x+2)+4) = -(((1-(x+2)^2)/((x+2)+2))+4)

unter: http://rechneronline.de/funktionsgraphen/ kann man sich das ja graphisch alles ganz schön darstellen lassen.

graphisch sind ist f(x+2)+4 von der funktion (1-x^2)/(x-2) = (1-(x+2)^2)/((x+2)-2)+4 allerdings eindeutig punktsymmetrisch zum ursprung

verwirrt

erkennt jemand von euch den fehler???

13.09.2008, 14:13

Airblader

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Bitte verwende LaTeX. So ist das einfach unlesbar.

air

13.09.2008, 15:14

Skyper

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aaalso nochmal.
ich würde gerne die allgemeine symmetrie für $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{x-2} \end{eqnarray*}$ überprüfen.
ich gehe davon aus (korrigiert mich falls falsch) das wenn eine punktsymmetrie herrscht, der symmetriepunkt immer der schnittpunkt von polgerade und asymptote ist.
diesen habe ich errechnet und kam auf x=2 y=-4 lässt sich auch unter http://rechneronline.de/funktionsgraphen/ überprüfen.

okay, dann habe ich die funktion so verschoben, dass der symmetriepunkt im ursprung liegt:

f(x+2)+4

dann dachte ich mir, kann ich doch für diese funktion überprüfen ob eine punktsymmetrie zum ursprung herrscht.

also ob:

f(-x+2)+4 = - (f(x+2)+4)

f(-x+2)+4 = $\begin{eqnarray*} \frac{-1-(-x+2)^2}{(-x+2)-2)} +4 \end{eqnarray*}$

leider gelang es mir nicht ganz "-" für den ganzen begriff auszuklammern.

ich komme dann immer auf folgenden ausdruck: $\begin{eqnarray*} -(\frac{-1+(x-2)^2}{(x-2)+2}+4) \end{eqnarray*}$

dieser ist allerdings nicht der gleiche wie -(f(x+2)+4) = $\begin{eqnarray*} -(\frac{1-(x+2)^2}{(x+2)+2)} +4) \end{eqnarray*}$

unter: http://rechneronline.de/funktionsgraphen/ kann man sich das ja graphisch alles ganz schön darstellen lassen.

graphisch sind ist f(x+2)+4 von der funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{x-2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1-(x+2)^2}{(x+2)-2} +4 \end{eqnarray*}$ allerdings eindeutig punktsymmetrisch zum ursprung

verwirrt

erkennt jemand von euch den fehler???

14.09.2008, 13:55

mYthos

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Das "Problem" liegt darin, dass der Symmetriepunkt, welcher tatsächlich der Schnittpunkt S(2; -4) der beiden Asymptoten ist, nicht auf der Kurve liegt. Daher kann man den Funktionswert bei x = 2 nicht bestimmen, da die Funktion dort nicht definiert ist. Ein ähnlicher Fall lag bei

Lösungsansätze zur KD von gebrochener Funktionenschar mit Parameter gesucht!

vor. Wenden wir die dort gewonnenen Erkenntnisse hier an, so gilt:

_____________________________

Der Symmetriepunkt liegt in diesem Fall NICHT auf der Kurve. Da die Funktion bei x = 2 nicht definiert ist, also f(2) nicht existiert, ist bei f(2 + h) und f(2 - h) h ungleich Null vorauszusetzen und es muss dann gelten:

$\begin{eqnarray*} f(2-h) + f(2+h) = -8 \ \ \ h \neq 0 \end{eqnarray*}$

Beim Einsetzen in die Funktion wird einmal -h und einmal h im Nenner stehenbleiben und sich später dann kürzen:

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

_____________________________

hier also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (2-h)^2}{-h} + \frac{1 - (2+h)^2}{h} = \frac{-1+4-4h+h^2+1-4-4h-h^2}{h} = \frac{-8h}{h} = -8 \ \ \text{[= 2y \ !]} \end{eqnarray*}$

Dies gilt offensichtlich für jede h-Umgebung um x = 2, somit auch, wenn h-> 0 geht, also auch für den Punkt S(2;-4). Damit ist der Beweis der Symmetrie erbracht.

mY+

EDIT: Beim Verschieben der Funktion hast du ganz arge Rechen-(Vorzeichen) Fehler gemacht. Ausserdem verlagert das Verschieben der Funktion um 2 nach links die Untersuchung nunmehr auf die Stelle x = 0, wo dann wiederum die gleiche Problematik besteht, da die neue Funktion wie vorhin bei x = 2 nun an der Stelle 0 nicht definiert ist.

Und noch ganz nebenbei, es gibt auch hier im Board einen netten Plotter!

14.09.2008, 14:44

Skyper

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hmm irgendwie verstehe ich nicht was du gemacht hast. soweit ich das jetzt verstanden habe, gibt es also eine möglichkeit allgemeine punktsymmertrie bei gebrochenrationalen funktionen festzustellen.
kann ich davon ausgehen, dass fals punktsymmetrie herscht der symmetriepunkt immer der schnittpunkt der polgerade und asymptote ist?

hmm verschiebe ich eine funktion soweit, dass der schnittpunkt der polgerade und der asymptote der koordinaten ursprung ist, dann kann ich doch für diese neue funktion die regel zur bestimmung der punktsymmetrie zum koordinaten ursprung überprüfen. gilt diese, so müsste die punktsymmetrie doch auch für meine ursprungsfunktion gelten. vielleicht liegt es ja nur an den wie du meintest rechen bzw vorzeichenfehlern, dass es nicht funktioniert hat.

verstehe ich es richtig, dass die methode die du angewendet hast ganz anders funktioniert als was ich mir gedacht habe?

vielleicht wird es mir klarer, wenn du mir sagen könntest wie man nun allgemein schritt für schritt vorgehen muss um diese zu bestimmen. geschockt

14.09.2008, 15:19

mYthos

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Natürlich kannst du die Funktion verschieben, allerdings musst du das auch in der y-Richtung tun, willst du dann den Ursprung als Symmetriepunkt untersuchen. Es ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass dann eben der Ursprung nicht auf dem Funktionsgraphen liegt. Es wird auch nicht immer so sein, dass bei jeder beliebigen (gebrochenen/rationalen) Funktion der Symmetriepunkt auf der Polgeraden bzw. Asymptote liegt. Sh. z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Der Nullpunkt ist hier bestimmt nicht Symmetriepunkt.

Somit muss man die Symmetrieeigenschaften immer gesondert untersuchen. Ein erster Plot wird dabei schon mal immens nützlich sein.

Das von mir beschriebene Verfahren setzt auf der Symmetrieeigenschaft eines Punktes $\begin{eqnarray*} S(x_0; y_0) \end{eqnarray*}$ hinsichtlich eines Funktionsgraphen auf, wobei ganz allgemein gelten muss:

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + a) + f(x_0 - a) = 2y_0 \end{eqnarray*}$

Liegt der Symmetriepunkt auf der Kurve, so ist $\begin{eqnarray*} y_0 = f(x_0) \end{eqnarray*}$ , wenn nicht und ist die Kurve symmetrisch geteilt, muss man - wie beschrieben - mittels der Größe h den Beweis führen.

mY+

14.09.2008, 15:41

Skype

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was ich an deiner rechnung auch nicht verstanden habe war was h ist.
das der von der genannte bruch nicht punktsymmetrisch ist, finde ich ja ganz leicht heraus indem ich f(-x)=-f(x) prüfe.

folgendes müsste doch eigentlich für die funktion: (1-x^2)/(x-2) gelten: f(-x+2)+4 = f(-x+2)+4 da ich den symmetriepunkt zum ursprung verschoben habe und für punktsymmetrie zum ursprung f(-x)=-f(x) herrscht. rechne ich dies aus, komme ich allerings auf ein anderes ergebnis, was wahrscheinlich auf meine rechenfehler zurückzuführen ist, welche du oben schon bemängelt hast.
ich glaube es würde mir ziemlich helfen, wenn du die rechenfehler in meiner rechnung aufdecken würdest.

14.09.2008, 18:21

mYthos

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Zitat:

Original von Skype
...
was ich an deiner rechnung auch nicht verstanden habe war was h ist.
...

h ist ein Parameter ungleich Null, welcher vorher verhindert, dass der Nenner der Funktion zu Null wird. Bei der verschobenen, nunmehr zum Nullpunkt symmetrischen Funktion wird die Stelle des h von x übernommen, also kann man dies gleich für alle x ungleich Null überprüfen. Insofern ist deine Idee, die Funktion entsprechend zu verschieben, sehr gut. Deine neue Funktion stimmt noch.

Zitat:

Original von Skype
...
folgendes müsste doch eigentlich für die funktion: (1-x^2)/(x-2) gelten: f(-x+2)+4 = f(-x+2)+4 da ich den symmetriepunkt zum ursprung verschoben habe
...

Das verstehe ich jetzt nicht, das ist doch eine Identität. Aber es wird wohl nur ein Schreibfehler sein (eines der beiden x-Argumente müsstest du doch negativ nehmen).

Neue Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1 - (x + 2)^2}{x} + 4 \end{eqnarray*}$

Nun ist f(-x) = -f(x) , somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (-x + 2)^2}{-x} + 4 = -(\frac{1 - (x + 2)^2}{x} + 4) \end{eqnarray*}$

So, jetzt kannst du weiter wie gewohnt vorgehen! Rechne von hier aus weiter, in deiner vorigen Rechnung hast du beim negativ Nehmen die 4 beim rechten Term nicht mitgenommen und ausserdem das Vorzeichen nach der 1 nicht gewechselt.

mY+

14.09.2008, 20:50

Skype

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alsoo, die überprüfung des graphen zeichners zeigt schon mal, dass es sich bei beiden funktionen um die gleiche handelt.

aber es ist mir trotz allem ein rätsel wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{1-(-x+2)^2}{-x}+4 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -(\frac{1-(x+2)^2}{x}+4 ) \end{eqnarray*}$ umformen kann.

wenn ich bei der ersten funktion bei dem gesamten ausdruck - ausklammern möchte, so muss ich doch alle vorzeichen ändern, also auch um +4 bei mir sieht das dann wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} -(\frac{-1+(x-2)^2}{x}-4 ) \end{eqnarray*}$ verwirrt

14.09.2008, 20:57

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \frac{1-(-x+2)^2}{-x}+4 = \frac{1-(-x+2)^2 \cdot (-1)}{-x \cdot (-1)}+4 = -\frac{1-(-x+2)^2}{x}+4 \end{eqnarray*}$

14.09.2008, 20:59

derkoch

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Zitat:

Original von Skype
aber es ist mir trotz allem ein rätsel wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{1-(-x+2)^2}{-x}+4 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -(\frac{1-(x+2)^2}{x}+4 ) \end{eqnarray*}$ umformen kann.

wenn ich bei der ersten funktion bei dem gesamten ausdruck - ausklammern möchte, so muss ich doch alle vorzeichen ändern, also auch um +4 bei mir sieht das dann wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} -(\frac{-1+(x-2)^2}{x}-4 ) \end{eqnarray*}$ verwirrt

Bevor man irgendetwas macht, sollten die Beiträge genauer gelesen werden meistens lichtet sich der Nebel dann von selbst!

Zitat:

Original von mYthos

......

Nun ist f(-x) = -f(x) , somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (-x + 2)^2}{-x} + 4 = -(\frac{1 - (x + 2)^2}{x} + 4) \end{eqnarray*}$

......

mY+

14.09.2008, 21:18

Skype

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könnt ihr mir nicht einfach sagen was genau ich bei der umstellung falsch gemacht habe?? unglücklich

14.09.2008, 22:54

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Neue Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1 - (x + 2)^2}{x} + 4 \end{eqnarray*}$

Nun ist f(-x) = -f(x) , somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (-x + 2)^2}{-x} + 4 = -(\frac{1 - (x + 2)^2}{x} + 4) \end{eqnarray*}$
...

O Gott, ich kann es dir doch nicht noch schöner machen!
Rechne doch beide Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen getrennt (!) aus, du wirst sehen, dass sie identisch sind!

mY+

14.09.2008, 23:37

Skype

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ja ich weiß dass sie identisch sind, dies habe ich im graphenzeichner überprüfen können. mir gelingt es aber nicht beim ersten term das - so auszuklammern, dass er identisch mit dem 2. ist. wie gesagt würde ich alle vorzeichen umdrehen und um alles ein minus setzten. hier mache ich anscheinend immer was falsch. gerne würde ich jetzt sehen was ich bei meiner termumforumung falsch gemacht habe, damit mir diese fehler in zukunft nicht mehr passieren smile

14.09.2008, 23:52

mYthos

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Der linke Term wird zu

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{1-x^2+4x-4-4x}{-x} = \ldots \end{eqnarray*}$

Der rechte wird zu

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{-(1-x^2-4x-4+4x)}{x} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

17.09.2008, 00:16

Skype

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was mache ich denn, wenn ich 2 polgeraden habe und 1 asympote, dann habe ihc doch 2 schnittpunkte von asymptote und polgerade. woher weiß ich nun was mein symmetrie punkt ist???

17.09.2008, 00:25

mYthos

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Da wird's vermutlich nicht immer eine (Punkt-)Symmetrie geben (1). Wie schon gesagt, skizziere erst mal die Funktion, dann kann man sie auf Symmetrie abtasten. (2) ist punktsymmetrisch.

mY+

(1)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x^2-4} \ \ \text{Asymptote: a(x) = 1; Polstellen bei x = -2, +2} \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3}{x^2-4} \ \ \text{Asymptote: a(x) = x; Polstellen bei x = -2, +2} \end{eqnarray*}$

mY+

17.09.2008, 00:42

Skype

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ah ok. aber ich muss jetzt noch mal auf das problem zu sprechen kommen, dass ich nicht weiß wie ich schritt für schritt bei dem ersten term das minus komplett ausklammer um ihn in genau die gleiche form wie den 2. zu bringen. ich bin da echt am verzweifeln :-( ich untersuche nämlich gerade noch eine andere gebrochen rationale funktion auf allgemeine punktsymmetrie und hier stehe ich wieder vor der gleichen herausforderung. in der schule kann ich mir die graphen auch nicht zur überprüfung am pc anschauen :-(

könntest du bitte bitte versuchen mir die umformung schritt für schritt zu erklären??

17.09.2008, 09:30

TheWitch

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Du machst dir das Leben unnötig schwer, wenn du versucht, durch Umformung eines Terms auf den anderen zu kommen. Stelle statt dessen beide Terme getrennt auf und vereinfache sie getrennt so weit wie möglich. Führen beide auf das gleiche Ergebnis, so hast du die entsprechende Symmetrie nachgewiesen.

17.09.2008, 12:12

mYthos

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Ich habe die beiden Beispiele oben noch vervollständigt.

Also, beim linken Term steht im Nenner -x, da multiplizierst du einfach Zähler und Nenner mit -1, daher werden alle Vorzeichen oben und unten umgekehrt. Beim rechten Term löst du das Minus vor der Klammer auf, das bedeutet, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer im Zähler umkehren. So. Nun müssten beide Terme gleich aussehen. Ist doch gar nicht schwer, das müssen die 7-Klässler auch schon können Big Laugh

Hinweis: Bei Punktsymmetrie muss die Asymptote durch den Symmetriepunkt gehen.

mY+

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Punktsymmetrie gebrochen rationaler funktionen

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