Bestimmung der Bogenlänge

15.06.2006, 13:41

FrodoB

Bestimmung der Bogenlänge

Hallöchen,
ich habe hier eine Aufgabe zu lösen. ich glaube auch (ich beton e"ich glaube" Big Laugh

) zu wissen wie ich diese aufgabe lösen muss.

aber ich bin mir da halt wie gesagt nicht sooooo sicher. deswegen würde ich sie gerne schritt für schritt mit euch lösen wenn das geht.

Also zunächst mal die Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kardioide

$\begin{eqnarray*} f: [0, 2 \pi] \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t):= \begin{pmatrix} cos (t(1+cost) )\\ sin (t(1+cost))\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(b) Bestimmen Sie die Bogenlänge der Astroide
$\begin{eqnarray*} f : [0, 2\pi] \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t):= \begin{pmatrix} cos^3 t\\ sin^3 t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, ich hoffe es ist in Ordnung, wenn wir das ganze Schritt für Schritt lösen können. Und dann fange ich erstmal mit der a) an. Da habe ich schonmal folgenden Ansatz:

a) Zuerst habe ich von f(t) die erste Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f(t)':= \begin{pmatrix} -sin (- sin (t(1+cost) )\\ -sin ( cos(t(1+cost))\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier bin ich mir halt nicht so sicher, ob ich die Ableitung so richtig gemacht habe. Es heißt ja inner mal äußere ableitung. hoffe es ist so richtig gemacht. Falls das dann stimmen sollte, muss ich ja den betrag von $\begin{eqnarray*} f(t) ' \end{eqnarray*}$ bilden. das sieht dann so bei mir aus:

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{(-sin)^2 * (-sin (t(1+cost)))^2 + (-sin)^2 *(cos (t(1+cost)))^2} \end{eqnarray*}$

sollte ich nun bis hierhin alles richtig gemacht haben, dann weiß ich ab hier auch nicht mehr wirklich weiter. kann man das in der Klammer von $\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid \end{eqnarray*}$ nicht irgendwie zusammenfassen? am besten so, dass die Wurzel dadrüber weg ist, dass man das leichter integrieren kann?

schon mal vielen dank für eure Hilfe Wink

15.06.2006, 14:06

Abakus

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RE: Bestimmung der Bogenlänge

Zitat:

Original von FrodoB
a) Zuerst habe ich von f(t) die erste Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f(t)':= \begin{pmatrix} -sin (- sin (t(1+cost) )\\ -sin ( cos(t(1+cost))\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim ersten sinus fehlt entweder etwas oder die Ableitung stimmt nicht. Die innere Ableitung ist $\begin{eqnarray*} 1 + \cos t - t \cdot \sin t \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

15.06.2006, 14:19

FrodoB

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zur a) :
Danke Abakus, habe den Feher eingesehen. ist in ordnung. Meine ABleitung war totaler schwachsinn LOL Hammer

. verzeih

ok, somit lautet nun die richtige Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(t)':= \begin{pmatrix} (1-tsin(t) + cos (t) * (- sin (t(1+cost) )) \\ 1+ (t) sin (t) + cos (t) ( cos(t(1+cost)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

trotzdem habe ich dann noch das problem mit $\begin{eqnarray*} f(t) ' \end{eqnarray*}$ . mit den richtigen Ableitungen sieht das zunächst so aus:
$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{(1-tsin(t) + cos (t) * (- sin (t(1+cost) ))^2 + (1+ (t) sin (t) + cos (t) ( cos(t(1+cost)))^2} \end{eqnarray*}$

wie soll bzw. kann man hier $\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid \end{eqnarray*}$ mit der Wurzel denn bloß aufleiten? denn das stellt für mich ein riesen hinderniss dar. Tanzen

Denn man muss ja hier integrieren richtig?

15.06.2006, 14:22

Abakus

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Rechne erstmal den Term unter der Wurzel richtig aus. Bestimmt lässt sich mit trigonometrischem Pythagoras was vereinfachen.

Ansonsten fehlen noch Klammern und ein Vorzeichen stimmt nicht.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

15.06.2006, 15:00

FrodoB

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zur a):

ok, da war ich anscheinend ein wenig zu hecktisch, so dass ich die klammer und minus zeichen vergessen habe.. so ich habe nun den Inhalt unter der Wurzel nun ausgerecnet. und das sieht bei mir folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{((1-tsin(t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cost))))^2 + ((1-t sin (t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cos t))))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{2*(sin^2(t(1+cost))) + 2*(t^2 sin^2 (t) * sin^2 (t(1+cost))) + 2( cos^2 t * sin^2 (t(1+cost)))} \end{eqnarray*}$

aber wie ich das nun noch weiter zusammenfassen könnte seh ich nicht. oder?

15.06.2006, 17:42

Abakus

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Zitat:

Original von FrodoB
zur a):
$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{((1-tsin(t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cost))))^2 + ((1-t sin (t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cos t))))^2} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck unter der Wurzel sollte so enden (cos statt sin):

$\begin{eqnarray*} ... ~ (- \cos (t(1+\cos t))))^2 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du zusammenfassen (trig. Pythagoras).

Grüße Abakus smile

15.06.2006, 18:30

FrodoB

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zur a):

ich habe nun beim betrag nochmal versucht, die fehler zu beseitigen. nun sehe es bei mir so aus. und ich bekomme komischerweise jetzt kein -cos... zum schluss raus:

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{((1-tsin(t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cost))))^2 + ((1-t sin (t) + cos(t)) * (cos (t(1+cos t))))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{sin^2(t(1+cost)) + t^2 sin^2t * sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 t * sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 (t(1+cost)) + t^2 sin^2 t * cos ^2 (t(1+cost)) + cos^2 t cos^2 (t(1+cost)) } \end{eqnarray*}$

und ich habe mir mal den trigonometrischen Phytagoras angeguckt. Nachdem gilt ja, wenn man das hier anwendet:

$\begin{eqnarray*} sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2 sin^2t * sin^2 (t(1+cost)) + t^2 sin^2 t * cos ^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$ (hier bin ich mir nicht mehr so sicher)

$\begin{eqnarray*} cos^2 t * sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 t cos^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$

somit stände, wenn ich jetzt mal endlich was richtig gemacht haben sollte unter der wurzel 3.

Aber bestimmt habe ich wieder was falsch gemacht, oder traurig

15.06.2006, 19:12

Abakus

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Ich würde das unter der Wurzel gar nicht erst ausmultiplizieren (wegen der vielen Klammern ist das leicht unübersichtlich):

$\begin{eqnarray*} \mid f(t) '\mid = \sqrt{((1-tsin(t) + cos(t)) * (-sin (t(1+cost))))^2 + ((1-t sin (t) + cos(t)) * (cos (t(1+cos t))))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{(1-tsin(t) + cos(t))^2 * \underbrace{[(-sin (t(1+cost)))^2 + (cos (t(1+cos t)))^2]}_{= 1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |1-t \sin(t) + \cos(t)| \end{eqnarray*}$

Kurz zu deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$

Korrekt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t^2 sin^2t * sin^2 (t(1+cost)) + t^2 sin^2 t * cos ^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$ (hier bin ich mir nicht mehr so sicher)

Notfalls ausklammern und schauen. Es müsste $\begin{eqnarray*} t^2 \sin^2 t \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} cos^2 t * sin^2 (t(1+cost)) + cos^2 t cos^2 (t(1+cost)) = 1 \end{eqnarray*}$

Hier wäre es $\begin{eqnarray*} cos^2 t \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

15.06.2006, 21:11

FrodoB

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jep, habe es nochmal probiert. jetzt erhalte ich auch das selbe wie du.

aber wie hast du das nur erkannt, dass das hier eine trigonometrisches Pythagoras ist?

15.06.2006, 21:32

Abakus

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Zitat:

Original von FrodoB
jep, habe es nochmal probiert. jetzt erhalte ich auch das selbe wie du.

aber wie hast du das nur erkannt, dass das hier eine trigonometrisches Pythagoras ist?

OK, klasse. Die Formel kommt wohl öfters in unterschiedlichen Zusammenhängen vor.

Grüße Abakus smile

15.06.2006, 21:35

FrodoB

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jetzt habe ich noch so eine weiter aufgabe zu lösen. zuerst frage ich nur mal, wie man folgenden Term vielleicht zusammenfassen könnte. Falls das nicht möglich ist, kann ich die aufgabe ja in einem neuem tread öffnen:

(-sint * 3cos^2t)^2 + (cos t * 3sin^2 t)^2

solange suche ich weiter im internet unter dem begriff trigonometrie ob ich was finde.

15.06.2006, 22:06

Abakus

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Dann klammer mal alles aus was geht. Du könntest folgende Formeln brauchen (die erste kennst du nun ja bereits):

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin 2x = 2 \sin x \cos x \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

16.05.2008, 20:42

kleinesengel

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hallo...

bist du die ganz sicher, das so deine aufgabenstellung bei der a lautet???

ich habe grad die gleiche aufgabe und die lautet bei mir SO:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t)=\begin{pmatrix} (1+cos(t))cos(t) \\ (1+cos(t))sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.05.2008, 14:22

Abakus

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Schau auf das Datum, es wird ggf. eine ähnliche Aufgabe gewesen sein.

Grüße Abakus smile

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