Unendliche Widerstandskette

15.06.2006, 13:59

Gast0

Unendliche Widerstandskette

Hi,

ich habe zwar eine Physik-Aufgabe, aber das Problem ist eher mathematisch:

Welchen Widerstand besitzt das folgende, unendlich fortgesetzte Widerstandsnetzwerk. Jeder Widerstand besitzt die Größe R

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13:	\| R \|---- \| R \| \|---- R R 3R ... usw. \| \|---- \| R \|---- R \|

Man hat also 3 Widerstände in Reihe, und dem mittleren werden rekursiv jeweils wieder 3 Widerstände in Reihe parallelgeschaltet. (Glaube die Formeln sind Allgemeinwissen).

Ich habe versucht, das ganze rekursiv auszudrücken indem ich den Ausdruck für den Ersatzwiderstand pro Stufe verwende, aber das hat nicht funktioniert. Gibts es da überhaupt einen geschlossenen Ausdruck?

Über Tips würde ich mich freuen.

15.06.2006, 14:24

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze geht doch ganz gut rekursiv: Sei $\begin{eqnarray*} R_1=3R \end{eqnarray*}$ der Widerstand selbst. Den schaltest du mit R parallel und dann mit 2R in Reihe und erhältst $\begin{eqnarray*} R_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Ergibt

$\begin{eqnarray*} R_{n+1} = 2R+\frac{1}{\frac{1}{R_n}+\frac{1}{R}} = \frac{3RR_n+2R^2}{R_n+R} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, es ist konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ R_n = R^* \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} R^* = \frac{3RR^*+2R^2}{R^*+R} \end{eqnarray*}$ und somit die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} R^{*2}-2RR^*-2R^2 = 0 \end{eqnarray*}$ mit der positiven Lösung $\begin{eqnarray*} R^* = (1+\sqrt{3}) R \end{eqnarray*}$ . Dass das auch wirklich Grenzwert ist muss der Mathematiker noch beweisen - der Physiker glaubt es auch so. smile

15.06.2006, 14:48

Gast0

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, jetzt sehe ich es auch. Ich habe das ein wenig zu kompliziert betrachtet (quasi von der anderen Seite) und da hat das nicht funktioniert weil ich R_n nicht gesehen habe.

Dankeschön!

(Als angehender Mathematiker läßt mich dein Seitenhieb auf Physiker natürlich kalt smile

)

Neue Frage »

Antworten »

Unendliche Widerstandskette

Verwandte Themen