Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm

12.09.2008, 22:43

Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm

Guten Abend!

Gegeben sind die drei Eckpunkte eines Parallelogramms: P1(5;6;4), P2(12;14;x), P3(16;22;28). Berechnen Sie x so, dass der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms A=300 [FE] beträgt.

Mein Ansatz ist, dass ich mit Hilfe der Formel $\begin{eqnarray*} 300=l\cdot b \end{eqnarray*}$ x berechnen kann.
Das l entspricht der Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}12-5 \\14-6 \\x-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Dann wäre die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 300=\sqrt{7^2+8^2+(x-4)^2}\cdot b \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, das b herauszubekommen...

Weil b entspricht ja nicht der Länge des Vektor von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P2P3} \end{eqnarray*}$ !!!

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P2P3} \end{eqnarray*}$ entspricht ja dem s bzw. eine Seitenlänge des Parallelogramms und nicht der Breite.

Ich dachte, dass ich das b bekomme, indem ich den y-Abstand von P2 und P3, d.h. 8 nehme, aber dies ist auch falsch. Bzw. in der Länge von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P2P3} \end{eqnarray*}$ einfach den x-Wert von (16-12) weglasse und somit die Länge aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{(22-14)^2+(28-x)^2} \end{eqnarray*}$ berechne...das aber ist auch falsch...

Wie bekomme ich aber die Breite b?
Denn dann hätte ich die Lösung der Aufgabe...

Danke KF

12.09.2008, 23:21

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
so dein parallelogramm keine rechten winkeln hat, stimmt deine formel für die fläche nicht unglücklich

verwende doch das kreuzprodukt

12.09.2008, 23:33

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
Nach meinen Angaben stimmt die Flächenformel...(siehe Bild)
Oder irre ich mich?

12.09.2008, 23:37

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm

Zitat:

Original von KF
Nach meinen Angaben stimmt die Flächenformel...(siehe Bild)
Oder irre ich mich?

na wenn du b so bezeichnst, dann schon.
üblicherweise ist b die bezeichnung für dein s und b heißt h Big Laugh

und immer noch gilt: vektorprodukt

12.09.2008, 23:53

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
Ja gut, wie wende ich das denn genau an?

Ich habe ja drei Vektoren:

$\begin{eqnarray*} P1=\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P2=\begin{pmatrix}12\\14\\x\end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P3=\begin{pmatrix}16\\22\\28\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. woher weiß ich welches Kreuzprodukt ich nehmen muss?

12.09.2008, 23:58

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
$\begin{eqnarray*} A=|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}| \end{eqnarray*}$
sollte eine quadratische gleichung für x liefern

13.09.2008, 00:00

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm

Zitat:

Original von KF
Ja gut, wie wende ich das denn genau an?

Ich habe ja drei Vektoren:

$\begin{eqnarray*} P1=\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P2=\begin{pmatrix}12\\14\\x\end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P3=\begin{pmatrix}16\\22\\28\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. woher weiß ich welches Kreuzprodukt ich nehmen muss?

zu deinem edit: das sind die gegebenen punkte nicht die benötigten vektoren

13.09.2008, 00:09

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
Also gut:

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}| \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}256-16\cdot x\\11\cdot x-212\\24\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich die Länge davon und sezte ein...

$\begin{eqnarray*} 300=\sqrt{(215-16\cdot x)^2+(11\cdot x-212)^2+24^2} \end{eqnarray*}$

...das löse ich nach x auf und bekomme: $\begin{eqnarray*} x_1=1,73~~~x_2=32,38 \end{eqnarray*}$

Danke!!!

Allerdings bleibt noch eine Frage...wie genau weiß ich wie sich die Anwendung mit dem Kreuzprodukt zusammensetzt...bzw. woher genau weiß ich das ich DAS Kreuzprodukt nehmen muss, und nicht z.B.
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{P_2P_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}| \end{eqnarray*}$ oder so?

KF

EDIT: Vielleicht weil ich das Parallelogramm ja aufspanne...d. h. von dem Punkt P1.
Also von P1 zu P2 und von P1 zu P3 ???

13.09.2008, 00:19

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
deine variante ist sogar besser, da offensichtlicher, mit P2P1 x P2P3, die spannen das parallelogramm (direkt) auf, meine version zur hälfte (mal 2 unglücklich

).

aufzeichen, dann siehst du es, der rest ist (geometrische) definition/interpretation des kreuzproduktes

dein ergebnis habe ich auch erhalten Freude

13.09.2008, 00:22

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
Ja klar, aber wenn deins das Parallelogramm nur zur Hälfte aufspannt, wieso habe ich dann ohne "mal 2" zu rechnen das richtige Ergebnis heraus?

EDIT: Also ich bekomme mit beiden Varianten das selbe Ergebnis...!

13.09.2008, 00:32

riwe

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm

Zitat:

Original von KF
Ja klar, aber wenn deins das Parallelogramm nur zur Hälfte aufspannt, wieso habe ich dann ohne "mal 2" zu rechnen das richtige Ergebnis heraus?

EDIT: Also ich bekomme mit beiden Varianten das selbe Ergebnis...!

ja hoffentlich bekommst du mit beiden varianten dasselbe ergebnis unglücklich

sonst wäre ein wurm drin.

ich meinte das ein bißerl verkorkst - mein österreichischer humor (mit betonung auf mein): wenn du es aufgezeichnet hättest, wäre es klarer gewesen.

mein vektorenpaar spannt ja nur die hälfte des gegebenen parallelogramms auf, die 2. ist "verschoben", also in summe wieder das ganze. ok verwirrt

während deine wahl eben exakt das gesuchte parallelogramm aufspannt, daher mein obiges lob.

edit: ein bilderl

13.09.2008, 00:39

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RE: Anal. Geometrie; Flächeninhalt Parallelogramm
Jepp! Ok, Danke nochmals!!! smile

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