Karton

12.09.2008, 22:52

möpmöp

Karton

Hallo,

ich sitze gerade seit eineinhalb Stunden vor dieser Aufgabe und komme nicht wirklich weiter...:

Eine Fabrik möchte aus 1m² Pappe eine quaderförmige Schachtel herstellen, deren Grundfläche quadratisch und das Volumen so groß wie möglich ist - es wird KEIN Deckel hergestellt. Höhe = h; Grundflächenseite = a

1.) Wie sieht der Graph aus, wenn man h in Abhängigkeit von a darstellt und warum hat er eine Nullstelle?

--> meine Überlegung:

A gesamt = 1m²
1m = a + 2h (wenn man quasi großmöglichst aus diesem 1m² rausschneidet)
d.h. : A = (a+2h)²

A Schachtel = A - 4h²
-> (1m - a) / 2 = h

(ich weiß nicht, wie man hier Zeichnungen anhängt - auf jeden Fall haben wir noch in der Schule eine Skizze erstellt, die quasi "kreuzartig" den Grundriss des Kartons in den Quadratmeter gezeichnet hat)

Dann hätte ich ja einen linear fallenden Graphen, oder vertue ich mich da? Die Nullstelle erhalte ich demnach, wenn a = 1m.

Soweit zum ersten Teil... ich bin mir so unsicher traurig

, helfende Hände wären toll!

12.09.2008, 22:56

tigerbine

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RE: Karton
Wie sieht denn der qm Pappe aus? Liegt uns ein Pappquadrat der Seitenlänge 1m vor?

12.09.2008, 22:59

möpmöp

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RE: Karton
Oh, entschuldigung - ja, so hatte unsere Lehrerin uns das vorgegeben.

12.09.2008, 23:05

tigerbine

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RE: Karton
ok. Dann können wir dann diese Seite von 1m in 1x Grundseite a und 2x Höhe h aufteilen, wie du schon richtig erkannt hast. Freude

Wir erhalten so auf jedenfall einen Karton mit quadratrischer Grundfläche. Für das entstehende Volumen gilt:

$\begin{eqnarray*} V_K(a,h)=h\cdot a^2 \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

12.09.2008, 23:09

möpmöp

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Ja, soweit kein Problem - das wäre auch Teil der nächsten Aufgabe: Das Volumen abhängig von a darstellen.

12.09.2008, 23:14

tigerbine

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ok. Nun zurück zu

Zitat:

Wie sieht der Graph aus, wenn man h in Abhängigkeit von a darstellt und warum hat er eine Nullstelle?

Hier warst du schon auf dem richtigen Weg, bist dann aber abgekommen. Hier sollst du nur den Zusammenhang. $\begin{eqnarray*} 1 = 2h+a \end{eqnarray*}$ nach h umstellen. Um die Funktion zu verdeutlichen, schreibe ich

$\begin{eqnarray*} h(a) =\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Warum haben wir hier nun eine Nullstelle?

12.09.2008, 23:21

möpmöp

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Der Graph ist linear und schneidet die x-Achse, wenn a = 1 (Meter), darauf war ich auch schon gekommen, dankeschön smile

.
Was mich allerdings total verunsichert hat, war der zweite Aufgabenteil:

Wie sieht der Graph aus, wenn man V in Abhängigkeit von a darstellt? Für welches a ist V am größten?

Meine überlegung:

V = a² * h
V = a² * (-0,5a + 0,5)
= -0,5a³ + 0,5a²

dafür habe ich eine Wertetabelle erstellt, die mir bis ungefähr 0,7m (= a) hohe Werte für V liefert, dann aber abkippt. Kann das sein? verwirrt

12.09.2008, 23:28

tigerbine

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Naja, nun nutzen wir eben die neue Darstellung von h :idee

$\begin{eqnarray*} V_K(a,h)=h\cdot a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(a) = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Macht dann

$\begin{eqnarray*} V_K(a)=-\frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}\cdot a^2 \end{eqnarray*}$

Kannst du schon ableiten?

12.09.2008, 23:30

möpmöp

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Nein, Ableitungen hatten wir noch nicht, aber ich habe den Graphen gerade gezeichnet - sieht aus, wie eine Art "Welle" im Koordinatensystem. Wie leitet man denn ab? smile

12.09.2008, 23:33

tigerbine

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Wenn ihr noch keine Ableitungen hattet, wie bestimmt ihr dann Extremwerte?

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