Extremwertaufgabe

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Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
ich habe hier eine aufgabe bei der ich irgendwie nicht weiterkomme:
Gegeben sei ein rechteck mit aufgesetztem halbkreis. wie sind die seitenlängen dieses rechtecks zu wählen, damit bei gegebenem inhalt der gesamten figur ihr umfang möglichst klein wird?

also meine ansätze waren folgende:
2a+2b+0,5*a*pi = min (hauptbedingung)

A=ab+0,5 pi (0,5 a )^2 (nebenbedingung)
A=ab+(1/8) pi a^2

dann wollte ich mittels abc formel bei der nebenbedingung a rausfinden hier kamen allerdings 2 werte raus: -b+Wurzel(b^2+0,5 pi A) und -b-Wurzel(b^2+0,5 pi A)

normal würde ich nun "das" a in die hauptbedinung einsetzten und die erste ableitung gleich 0 stellen.
aber ich hab ja 2 mal a und irgendwie sieht das ganze sehr befremdlich aus.
traurig
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Benutze möglichst den Formeleditor hier im Board, sonst ist es mit der Lesbarkeit nicht so. Augenzwinkern



Bei der Hauptbedingung hast Du einen Fehler gemacht: Du darfst die Seite, an welcher der Halbkreis anliegt, nicht zum Umfang zählen.

In der Nebenbedingung ist ebenfalls ein Rechenfehler: Es müsste dort pi² stehen.


Beim Auflösen nach a gibt des tatsächlich zwei Ergebnisse. Löse deswegen nach b auf, denn diese Variable tritt nicht im Quadrat auf.


Könntest Du Deine Lösungen nochmal korrigieren und mit dem Formeleditor aufschreiben?



// Korrektur

// Korrektur 2: Man kann doch nach a auflösen, denn die eine Lösung fällt weg, da negativ.
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh super DANKE DANKE :-) mach ich dann morgen. ich brauch jetzt erst ma meinen schlaf
Skyper Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt wollt ich grade ausrechnen, ... aber warum \pi ^2 ????

stelle ich die nebenbedingung nach a um komme ich auf: a=-1(1/8) pi * a +(A/a)

sorry, aber mit dem formeleditor komme ich nicht klar. ich kopiere etwas in die zwischenablage um es dann im standard editor wieder einzufügen. komischer weise kann ich es überall einfügen nur nicht im standard editor verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
In der Nebenbedingung ist ebenfalls ein Rechenfehler: Es müsste dort pi² stehen.

Wieso pi²? verwirrt pi ist richtig.

Uns so sieht das mit Latex aus: .

Den Code bekommst du, wenn du auf Zitat klickst.

@Skyper: bist du mit Daniela90 identisch?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das mit dem pi² war natürlich Quatsch.


Hm, bei Deiner nach b aufgelösten Nebenbedingung verstehe ich das 1(1/8) nicht. Es müsste doch heißen



Also -(1/8), nicht -1(1/8).


Für LaTeX gibt es übrigens Anleitungen:

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

und

Wie kann man Formeln schreiben?

Vielleicht versuchst Du es ja doch nochmal damit. Augenzwinkern
 
 
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

soo, jetzt habe ich b der nebenbedinung in die hauptbedingung eingefügt und die 1. ableitung gleich 0 gesetzt. dies ergab okay, dass ist nun mein a, aber wie komme ich nun auf mein b?? es bringt mir ja nicht viel dieses in die hauptbedingung einzufügen, da diese = min und nicht = irgendeinem wert ist.
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

ach da fällt mir gerade noch ein. ich habe ja mit der 1 ableitung nur nen extremwert bestimmt. wie gebe ich nun in die bedingung, dass es sich um den min und nicht max handelt??
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

@ mathesüchtiger
Zitat:
-(1/8), nicht -1(1/8)
ist doch das gleiche
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, weil Dein Ergebnis die einzige mögliche Extremstelle ist, wird das wohl auch gerade die "Tiefstelle" sein -- ansonsten wäre die Aufgabe unlösbar. Aber prinzipiell gilt:



--> Tiefstelle (hinreichende Bedingung)



--> Hochstelle (hinreichende Bedingung)



Ich komme für a allerdings auf ein anderes Ergebnis. Schreibe bitte nochmal die korrigierte Hauptbedingung und die nach b aufgelöste Nebenbedingung auf.



// edit:

Zitat:
Original von Daniela90
@ mathesüchtiger
Zitat:
-(1/8), nicht -1(1/8)
ist doch das gleiche


Ich würde das rechte als



lesen, sonst ergibt das ja wenig Sinn. Und damit ist es nicht mehr das gleiche. Augenzwinkern
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

(Hauptbedinung)

(Nebenbedingung)

(Nebenbedingung nach b umgestellt)

(b in Hauptbedinung eingesetzt)

(1. Ableitung gebildet)

(2. Ableitung gebildet)

(2. Nebenbedingung) kann ich leider nur nicht richtig einbringen da kein = sondern <

(1. Ableitung nach a umgestellt)

(a in Hauptbedingung eingesetzt)

und nu??? wie komm ich jetzt auf b??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Bis einschließlich der ersten Ableitung müsste alles richtig sein. Bei der dritten ist das Vorzeichen nicht korrekt.



Jetzt hast Du bei der Berechnung der potentiellen Extremstelle folgenden Fehler gemacht:




Das korrekte Ergebnis lautet dann:




Als nächsten Schritt überprüft man, ob dies eine "Tiefstelle" ist:

Gilt



?

Wenn ja, dann hast Du das Ergebnis gefunden! b kann man berechnen, indem man den Wert für a in die Nebenbedingung einsetzt.



// edit: In diesem konkreten Fall braucht man gar nicht rechnerisch zu überprüfen, man sieht es auf Anhieb. Augenzwinkern
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, das mit der 2. ableitung war nen tippfehler smile

dass ich dass dann in die nebenbedingung einsetzten muss da bin ich nicht drauf gekommen Gott

allerdings glaube ich nicht, dass ich den fehler gemacht habe und aufgrund eines gleichen zählers brüche zusammengefasst habe. ich schreibe dir nochma schritt für schritt was ich nach der 1. ableitung gerechnet habe:









Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, Du hast schon diesen Fehler gemacht, wenn auch nicht so, wie ich zuerst gedacht hatte.



Aber jetzt gilt nicht





Also wenn Du den Kehrwert beider Seiten bildest, dann musst Du wirklich jeweils die gesamte Seite umkehren -- und nicht die einzelnen Summanden.
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

ohman, das hätt ich ja nie gesehen Freude

DAAAANKE!!!
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Bis einschließlich der ersten Ableitung müsste alles richtig sein.

Diese Aussage würde ich doch mal überprüfen...! Hab den ganzen Roman icht bis zum Ende durch gelesen...!

Zitat:
Original von Daniela90
(Hauptbedinung)
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wäre nett, wenn Du den Fehler gleich dazuschreiben würdest. Ich finde ihn nicht.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Hm, wäre nett, wenn Du den Fehler gleich dazuschreiben würdest. Ich finde ihn nicht.



Wenn der Umfang des Kreises:



was wird wohl die Hälfte des Umfangs sein...?
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

hast du für b dann auch raus??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ derkoch:




Und da



ergibt sich bei mir




Oder nicht? verwirrt
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

korrigiert:
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ Daniela90:

Die nach b aufgelöste Nebenbedingung war ja



Wie kommst Du dann auf das Ergebnis?

(Evtl. hast Du mit dem falschen Ergebnis für a weitergerechnet?)
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

mist Hammer hab ich tatsächlich XD
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
@ derkoch:




Und da



ergibt sich bei mir




Oder nicht? verwirrt


Wenn es so steht bin ich beruhig. Ich sehe nämlich was anderes verwirrt , moment.. ich mache dir mal nen Screenshot, wie es bei mir aussieht!

Edit: So der Screenshot!! verwirrt
Hab mich auch ein wenig "gewundert", da a und r durcheinander gewürfel sind ! Aber das Problem der falschen Darstellung bei mir aufm Rechner hatten wir ja schon Mal gehabt,...komisch! verwirrt
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ derkoch:

Das ist wirklich mal merkwürdig. Im Originalpost steht nämlich gar kein r, dafür eben das a. Und Gäste können ihre Beiträge ja auch nicht bearbeiten...



@ Daniela90:

Also das korrekte Ergebnis lautet



Das musst Du ja dann nur noch in



einsetzen -- und vielleicht noch umformen.

OK, ich bin dann mal weg. Augenzwinkern
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

soo jetzt hab ich aber b entgültig smile



habt ihr das auch?
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm je nachdem ob ich a jetzt in die nach b umgestellte nebenbedingung oder in die ursprungsform der nebenbedingung eingebe komme ich auf ein anderes ergebnis unglücklich

wenn ich in die nach b umgestellte form der nebenbedinung einsetzte:





wenn ich in die grundform der nebenbedingung einsetze:








seht ihr meinen fehler???
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt genau Hammer

die formel kommt von folgender aufgabe:

Ein kessel besteht aus einer halbkugel mit aufgesetztem zylindermantel. Wie sind seine maße zu wählen, damit er mit deckel bei gegebenem volumen eine möglichst kleine oberlöächengröße hat?

habe folgende hauptbedingung aufgestellt:



folgende nebenbedinung:



nebenbedingung nach h umgestellt. da kam ich auf:



h habe ich in die hauptbedinung eingefügt und dann die 1 ableitung gleich 0 kam ich auf diese schöne formel smile kommt mir aber ehrlich gesagt auch komisch vor mit den potenzen.
Daniela90 Auf diesen Beitrag antworten »

ups letzter beitrag bezog sich nicht aufs thema sorry xD
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber auch Termumformung für Geduldige. geschockt



Also Du hast eigentlich nur einen Fehler gemacht:



Vor dem Faktor vor b muss ein negatives Vorzeichen stehen, denn Du hast diesen Term ja subtrahiert.

Das Endergebnis lautet dann entsprechend auch



Jetzt kannst Du die



umformen und kürzen:







Also:



Und das ist genau das Ergebnis, das Du auch bei der nach b aufgelösten Nebenbedingung erhalten hast.




----
Du hättest die obigen Umformungen übrigens ganz leicht umgehen können, wenn Du direkt so gerechnet hättest:

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