Kettenregel + implizite Funktionen

15.06.2006, 15:07

donkarabelas

Kettenregel + implizite Funktionen

Hi hab eine knackige frage:

Sei $\begin{eqnarray*} z~=~\frac{y}{f(x^2-y^2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Man zeige:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y}~=~ \frac{z}{y^2} \end{eqnarray*}$

was meint ihr wie man das löst? Ich tippe auf die allg. Kettenregel, nur hab ich mich da ziemlich oft verrechnet.

mfg
elias

15.06.2006, 17:48

Abakus

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RE: Kettenregel + implizite Funktionen
Ja, das ist mit der Kettenregel anzupacken: rechne $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x},~\frac{\partial z}{\partial y} \end{eqnarray*}$ aus und setze dann ein.

Am Besten zeigst du deine Rechnung dazu mal.

Grüße Abakus smile

16.06.2006, 12:04

donkarabelas

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sorry, hat ein wenig gedauert aber i tu mir schwer $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray*}$ zu bilden.

mfg
elias

16.06.2006, 13:05

mercany

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Zitat:

Original von donkarabelas
sorry, hat ein wenig gedauert aber i tu mir schwer $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray*}$ zu bilden.

mfg
elias

Naja, was hast du denn?
Ohne das wir es sehen, ist da wenig zu machen. Augenzwinkern

16.06.2006, 18:44

Leopold

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Wenn nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird, ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante zu behandeln:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{f \left( x^2 - y^2 \right)} = y \cdot \frac{1}{f \left( x^2 - y^2 \right)} \end{eqnarray*}$

Als konstanter Faktor bleibt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erhalten. Dann ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{f \left( x^2 - y^2 \right)} \end{eqnarray*}$ von der Gestalt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t = f \left( x^2 - y^2 \right) \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u(t) = \frac{1}{t} = t^{-1} \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} u'(t) = - t^{-2} = - \frac{1}{t^2} \end{eqnarray*}$ . Nach der Kettenregel gilt daher

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = y \cdot \left( - \frac{1}{\left[ f \left( x^2 - y^2 \right) \right]^2} \right) \cdot \ \ldots \end{eqnarray*}$

Und da, wo die Pünktchen stehen, fehlt jetzt noch die innere Ableitung, also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} v(x) = f \left( x^2 - y^2 \right) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und das ist wieder eine Verkettung mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als äußerer Funktion und $\begin{eqnarray*} w(x) = x^2 - y^2 \end{eqnarray*}$ als innerer Funktion. Also braucht man noch einmal die Kettenregel.

Bring einmal diesen Teil jetzt zu Ende. Dann versuche, $\begin{eqnarray*} \frac{\partial{z}}{\partial{y}} \end{eqnarray*}$ alleine hinzubekommen.

17.06.2006, 14:08

donkarabelas

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okay, mal schaun, sieht $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray*}$ so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x}=-y*\frac{1}{f(x^2-y^2)^2}*f'(x^2-y^2)*2x \end{eqnarray*}$

lg elias

17.06.2006, 14:47

Leopold

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Genau!

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = -2xy \, \frac{f' \left( x^2 - y^2 \right)}{\left[ f \left( x^2 - y^2 \right) \right]^2} \end{eqnarray*}$

Freude

Und das andere geht jetzt wohl alleine ...

17.06.2006, 18:08

donkarabelas

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sehr gut, danke
habs gelöst
war eigentlich absolut simpel smile

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