grenzwertbestimmung mit cauchy-produkt

15.06.2006, 16:38	ravemaedchen	Auf diesen Beitrag antworten »
grenzwertbestimmung mit cauchy-produkt hi, hab gewisse probleme mit folgender aufgabe: "bestimmen sie mit hilfe des cauchy-produkts die grenzwerte folgender reihen: a) $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k+1}{3^{k}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k}{3^{k}} \end{eqnarray}$ " ich vermute dass ich die brüche bzw folgen jeweils in zwei folgen aufteilen muss, auf die das cauchyprodukt passt, aber ich hab auch nach einer stunde noch keine ahnung, WIE man da drauf kommen könnt... hat da vielleicht jemand einen tip für mich? wär klasse. lieben gruß, christine
15.06.2006, 17:07	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
zur ersten: multipliziere doch mal die Reihe über 1/(3^m) [m von 0 bis...] mit sich selbst. Es gibt genau k+1 Zerlegungen von k in zwei natürliche Summanden. K=0+k=1+(k-1)=2+(k-2)=...=k+0 Das sollte gehen und dir auch Ideen zur zweiten liefern. Wenn ich mich niht verguckt habe.
15.06.2006, 19:19	ravemaedchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, hilft mir leider nicht. ich glaub langsam dass ich da viel zu kompliziert denke... ich versuche, über $\begin{eqnarray} c_k=\sum_{i=0}^k~a_ib_(k-i) \end{eqnarray*}$ drauf zu kommen, aber mit diesem b_(k-i) kann ich gar nichts anfangen. wie muss man denn überhaupt an die sache rangehen? please help =)
15.06.2006, 19:22	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
dann berechne doch mal das c_k, wenn a_k und b_k wie oben erwahnt sind.....
15.06.2006, 19:27	ravemaedchen	Auf diesen Beitrag antworten »
das versuch ich ja seit 2 stunden aber ich kann mit diesem b_k-i nichts anfangen weil mir das irgendwie nich in meine hirnwindungen will, was genau das darstellen/bedeuten soll oder ausmacht... wie gesagt ich fürchte ich denke zu kompliziert, sorry
15.06.2006, 19:59	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kenne diese Formel, die du aufschreibst für Polynom bzw. Potenzreihenmultiplikation. Ich weiß auch nicht, ob das im Allgemeinen was bringt, deswegen gehe das hier mal anders an. () Du hast hier zwei "unendliche Summen" und eine Multiplikation sieht natürlich "jedes mit jedem" vor. Jeder Summand ist eine Drittelpotenz, fragt sich nur, wieviele es von jeder Potenz gibt. $\begin{eqnarray} (\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{3^k})(\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{3^k})=\sum_{k=0}^{\infty}~?\frac{1}{3^k} \end{eqnarray}$ () hier kannst du das analog zu Potenzreihen machen: das X^n entspricht hier eben (1/3)^n.
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15.06.2006, 21:57	ravemaedchen	Auf diesen Beitrag antworten »
bin leider nicht weitergekommen mit deinen tips, trotzdem vielen dank... mal sehn was se mir am montag in der übung vorrechnen... lieben gruß, christine
15.06.2006, 22:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Jochen hat dir bereits die beiden Reihen verraten, deren Cauchy-Produkt zum Ergebnis führt, also eigentlich musst du nur einsetzen. $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ sind die Glieder dieser beiden Reihen, aber anscheinend verhedderst du dich in den Indizes.

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