Linearkombination

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gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination
hi,

wir haben das gerade im unterricht und irgendwie verstehe ich nicht, warum ich das ausrechnen muss. also so den sinn dahinter außer, dass man ein gleichungssystem aufstellen soll und dann jede möglichkeit ausprobieren soll, um zu zeigen, ob die vektoren nun unabhängig oder abhängig sind.


unser lehrer sagte nur zu uns, dass es so wie mit den farben sei. aus den farben rot, blau und gelb, kann man jede farbe mischen, je nachdem wie viel man von jeder nimmt.

ich verstehe den zusammenhang zur mathematik irgendwie gerade nicht.
das frustriert mich dann solche gleichungssysteme lösen zu müssen.


ich dachte eigentlich, dass man sich damit sachen zusammenbauen kann. aber ich wüsste nicht, wie das aussehen sollte.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe der Vergleich mit den Farben ist mir neu, aber dennoch schön Big Laugh

Joa, es ist in der Tat so, dass man einen bestimmten Vektor unter Umständen durch andere Vektoren ausdrücken kann, nämlich durch bestimmte Vielfache von ihnen.

Entscheidend ist hier auch die Loslösung von dem Gedanken, dass Vektoren, die an verschiedenen Orten im Koordinatensystem liegen, aber dennoch in dieselbe Richtung zeigen und gleichlang sind, verschieden sind ---> Vektoren sind ortsunabhängig !!!

Verschiebt man also solche gleichen Vektoren kann man womöglich einen bestimmten Vektor durch andere darstellen.

Denke mal an deine letzten Aufgaben, da hast du ja auch immer einen Vektor OP durch eine Gleichung ausgedrückt, z.B. OP=OA+OB oder was auch immer.
Das wäre ein Beispiel wo man OP einfach durch OA und OB darstellt.
Möglich ist aber auch sowas wie OP=2*OA-3*OB.
Damit wird ausgesagt dass wenn man von O aus das 2-fache des Vektors OA an das -3-fache des Vektors OB dranhängt, man bei P landet.

Ein anschaulicher geometrischer Grundgedanke hierbei ist es sich eine geschlossene Vektorkette vorzustellen, denn nichts anderes liegt ja vor, wenn man sich eine Linearkombination von Vektoren sucht, die einen anderen Vektor von seinem Anfangspunkt O zu seinem Endpunkt P repräsentieren.
Anders ausgedrückt sagt man dann auch dass man den Nullvektor durch eine solche Linearkombination von Vektoren ausdrückt, denn man geht ja gerade den Weg von einem Anfangspunkt O über viele weitere Vektoren, und landet am Ende wieder bei O. Der Vektor OO ist logischer weise der Nullvektor, genauso wie AA,BB, CC...usw

Und genau mit diesem Ansatz kommt diese Gleichung bzw die Gleichungen zustande, die du oben angesprochen hast ---> r*OA+s*OB+t*OC=0

Und genau wenn NEBEN der trivialen Lösung r=s=t=0, die ja eh offensichltich immer gilt, noch eine weitere exisitiert, dann nennt man diese 3 Vektoren linear abhängig.
Es ist dann also möglich mit diesen Vektoren eine geschlossene Vektorkette zu erzeugen. Exisitiert hingegen NUR die triviale Lösung nennt man die Vektoren dann linear unabhängig.

Puuh...is doch was länger geworden....aber du liest ja gern oder Augenzwinkern
 
 
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

reizüberflutung :p

ja, irgendwie schon logisch nach zehn mal lesen .-.

aber ich weiß noch nicht, warum man überhaupt einen vektor drei mal verlängern soll. wir hatten ja bisher nur quader als körper und da fällt mir kein vektor ein, den ich drei mal verlängern soll um einen anderen punkt berechnen zu können.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Naja...Sagen wir, du hast eine Pyramide und du weißt, dass die Körperhöhe 12 cm ist. Du kennst den Vektor, der vom Fußpunkt in Richtung Spitze zeigt, aber der ist leider nur 4 cm lang. Wenn du nun die Spitze berechnen willst, musst du den Vektor 3 mal verlängern und zum Fußpunkt dazu zählen, denn dann kriegst du die Koordinaten der Spitze, die gesucht war.
Du wirst noch sehen, wieviele Beispiele es gibt, wo man einen Vektor verlängern muss, damit man sich die Koordinaten eines gesuchten Punktes berechnen kann.

lg, kiki
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch nochmal etwas Veranschaulichung mit einer Skizze:

Die Vektoren c,d und e auf der linken Seite sind linear abhängig, und zwar genau deshalb, weil man mit ihnen durch entsprechende Verlängerungen, Verkürzungen oder Umorientierungen (Gegenvektor) eine geschlossene Vektorkette erzeugen kann, wie man rechts daneben sieht. Vielleicht macht das ja deutlicher was mit Linearkombinationen gemeint ist.

Als kleine Übungsaufgabe für dich könntest du dir anhand der Skizze mal überlegen wie die Zahlen r,s und t lauten müssten, damit r*c+s*d+t*e=0 gilt.

Good Night Wink
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

+2
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-1

oder nicht? oder so? oder anders?.)

@ki: ich verstehe die vektoren gerade nicht. fuß zu spitze.. so?

ähm, nachti .D
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