analytische deo. 3 punkte...

13.09.2008, 14:02

xdennisx

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analytische deo. 3 punkte...

ich habe ein problem beim lösen derfolgenden aufgabe
von einem dreieck abc sind die mittelunkte Ma Mb Mc der seiten gegeben
man bestimme die koordinaten A B C (zeichnerisch+rechnerisch)

Ma (6/6)
Mb (3/5)
Mc (4/3)

abc sind die eckepunkte des dreiecks

ich habe mir dies schonmal aufgezeichnet und geguckt was man amchen könnte aber mit winkelhalbierende, seitenhalbierende kommt man nicht weiter oder hab ich etwas flasch gemacht?

13.09.2008, 15:01

Leopold

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Es seien $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren der Eckpunkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} \vec{m}_a, \vec{m}_b, \vec{m}_c \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren der Seitenmitten $\begin{eqnarray*} M_a, M_b, M_c \end{eqnarray*}$ . Bekanntermaßen gelten

$\begin{eqnarray*} \vec{m}_a = \frac{1}{2} \left( \vec{b} + \vec{c} \right) \, , \ \ \vec{m}_b = \frac{1}{2} \left( \vec{c} + \vec{a} \right) \, , \ \ \vec{m}_c = \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem kann man nach $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ auflösen. Obwohl es sich hier nicht um ein lineares Gleichungssystem im üblichen Sinne, sondern um ein Vektorgleichungssystem handelt, kann man formal wie gewohnt vorgehen. Auf diese Weise bekommst du Formeln, mit denen du die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ sofort berechnen kannst. Die Formeln zeigen dir auch, wie du $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ durch Konstruktion bekommst.
Das Ganze kann man sich natürlich auch ohne große Rechnung direkt an einer Zeichnung überlegen.

13.09.2008, 16:44

xdennisx

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gut das dazu bekomm ich soweit hin denk ich mal aber wie kommst du darauf bzw wovon leitets du es her
__________________________________

und wenn ich das als gleichungssysthem löse bekomm ich ja eine zahl jewals raus aber punkt hat ja in dem fall 3 benötigte zahlen
___________________________________

ach en sry hab ich flasch verstanden vergiss das letzte aber

das soll eine einführungsaufgabe sein da wir mit dem thema anfangenund es wurde auf 2 vektoren? vereinfacht also ohne 3 ebene oder soll ich dafür überall 0 einsetzen?

13.09.2008, 19:42

mYthos

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Du hast es offenbar noch nicht ganz verstanden, es bleiben schon 3 Vektoren, aber im zweidimensionalen Raum. Ob in R2 oder in R3, der Lösungsweg ist derselbe. Du löst das jeweilige System einmal für die x- und dann für die y- Koordinaten. Am besten, ein Mal allgemein, sodann kannst du die Werte immer einsetzen. Fange mal an und zeige vor allem deine Rechnung, bevor du wieder ohne viel Überlegung ins Blaue hinein fragst. Wenn möglich, vermeide Doppel- oder Dreifachposts hintereinander.

mY+

14.09.2008, 10:44

xdennisx

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also einmal ging es mir nicht spezial um das lösen dieser gleichung obwohl das auch gleich passend währe, sondern mehr um das verstehen wie komm ich zu dieser gleichung

$\begin{eqnarray*} 1. \ \vec{ma} = \frac{1}{2} ( \vec{b} + \vec{c}) \\ 2. \ \vec{mb} = \frac{1}{2} ( \vec{c} + \vec{a}) \\ 3. \ \vec{mc} = \frac{1}{2} ( \vec{a} + \vec{b}) \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \ \vec{ma} = \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c} \end{eqnarray*}$

würd ich umschreiben auf

$\begin{eqnarray*} \vec{ma} = \frac{1}{2} \vec{b}+ \frac{1}{2}\vec{c} \end{eqnarray*}$

und dann mit addionsverfahren das fehlende ausrechnen

wieso klapt die latex-formel bei mir nicht wo liegt der fehler?
wenns geht den bitte beheben und mir erklären ^^

ModEdit: Nur LaTex korrigiert. Zeilenumbrüche mit \\ , keine "harten" Zeilenumbrüche verwenden! mY+

14.09.2008, 11:16

Leopold

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Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec{m}_a + \vec{m}_b - \vec{m}_c = \frac{1}{2} \left( \vec{b} + \vec{c} + \vec{c} + \vec{a} - \vec{a} - \vec{b} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \vec{c} = \vec{c} \end{eqnarray*}$

Und das kann man dann auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{m}_a + \overrightarrow{M_c M_b} \end{eqnarray*}$

Oder so:

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{m}_b + \overrightarrow{M_c M_a} \end{eqnarray*}$

Und hieraus kann man auch die geometrische Konstruktion ablesen. Aber wie schon gesagt, das geht auch mit Schulmethoden:

Jede Mittellinie im Dreieck ist parallel zu einer der Dreiecksseiten und halb so lang wie diese.

Die "Mittellinien" sind dabei die Verbindungsstrecken der Seitenmitten des Dreiecks.

Hast du dich eigentlich schon der kleinen Mühe einer Zeichnung unterzogen? Ich hoffe, daß du da etwas mehr Aufwand getrieben hast als beim Formulieren deiner Fragen. Einiges kann ich trotz katastrophaler Rechtschreibung und Grammatik noch verstehen. Anderes ist aber schlicht unverständlich.

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14.09.2008, 11:36

xdennisx

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ja ich habe schon gezeichnet und auch viel überleget und ja ich formuliere die fragen scheiße

ich sollte dazu sagen das es unsere 2h zu dem thema war und mir sonst was für formeln nicht weiter helfen

und der 2 teil ist genau sowas was mir weiter hilft jeodch ist der vergleichsweise kurz geraten verwirrt

verwirrt

und ich bevorzge die schulmethoden als schüler

14.09.2008, 11:42

Leopold

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Dann solltest du einfach einmal sagen, was du schon weißt. Das können wir wiederum nicht wissen. Und noch ein Tip: Parallelen, Parallelen, Parallelen, ...

14.09.2008, 11:42

xdennisx

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also die konstruktion ist damit gut erklärt

andere frage hat es was mit stahrensätzen zu tun bei der berechnung?

14.09.2008, 11:48

xdennisx

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wir hatten uns sowas erarbeitet wie $\begin{eqnarray*} m(\frac{x2-x1}{2} /\frac{y2-y1}{2} ) \end{eqnarray*}$
wobei m der mittelpunkt ist
geht das wenn man das nutz in einem gleichungsythem

ModEdit: LaTex korrigiert. Deine Mittelpunktsformel stimmt allerdings nicht! mY+

14.09.2008, 11:51

xdennisx

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$\begin{eqnarray*} m(\frac{x2-x1}{2} /\frac{y2-y1}{2} ) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} Ma = \frac{B-A}{2} \\ Mb = \frac{B-C}{2} \\ Mc = \frac{C-A}{2} \end{eqnarray*}$

das halt 1 mal für x kordinaten und das gleiche nochmal für y wobei sich dann ja nochmal ein paar b's und c's austaschen

ModEdit: Keine direkten Zeilenumbrüche innerhalb LaTex! Entweder jede Zeile in LaTex setzen oder mit "\\" Zeilenumbrüche einfügen. Entsprechend korrigiert. mY+

14.09.2008, 12:47

mYthos

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Ich denke, du bringst da etwas durcheinander!
Wenn du mit m den Ortsvektor direkt zum Mittelpunkt meinst (also dessen Koordinaten), stimmt deine Formel nicht! Vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} \vec{m_c} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \end{eqnarray*}$

mY+

14.09.2008, 13:55

xdennisx

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ja aber meine lehrerin hat das so angeschrieben also iwas muss ja dadran stimmen

14.09.2008, 14:05

xdennisx

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also sie hat sie auch erleutert und ich habs verstanden wenn man halt beide koordinaten subtrahiert bleibt genau die die länge der stecke übrig (die lange auf die x-achse projeziet)
und das dann durch 2 da der mittelpunkt ja mittig liegt
beides für x und y und man hat halt den punkt raus ist ja nur in einer ebene

vom prinziep her steht bei beiden das gleiche außer das anstadt einem minus ein plus steht

14.09.2008, 14:41

mYthos

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Das ist aber im Prinzip ein gravierender Unterschied!
Der Vektor von A nach b ist $\begin{eqnarray*} \vec{b} - \vec{a} \end{eqnarray*}$ , diesen kann man auch halbieren, aber deswegen ist das noch NICHT der Vektor zum Mittelpunkt. Diesen halben Vektor musst du noch zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ addieren, damit du den Mittelpunktsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{m} \end{eqnarray*}$ bekommst (den Ortsvektor zum Mittelpunkt der Strecke AB). Deswegen kommt eben das Plus. Solange du das nicht verstanden hast, brauchst du gar nicht weiterrechnen.

Und: Es heisst erläutert

mY+

14.09.2008, 15:30

xdennisx

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Zitat:

Original von mYthos
Wenn du mit m den Ortsvektor direkt zum Mittelpunkt meinst (also dessen Koordinaten), stimmt deine Formel nicht! Vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} \vec{m_c} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \end{eqnarray*}$

mY+

ok das mit a dazu adiern hab ich auch verstanden zu dumm wir haben das nur für eine strecke betrachtet kein vektor

danke euch

14.09.2008, 15:32

xdennisx

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ok und dann gh ich richtig in der annahme das ich 2 mal solsch ein gleichungsythem lösunen muss einmal mit den x koordinaten und das andere mal mit den y?

14.09.2008, 18:51

mYthos

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Ja, so ist es! smile

smile

mY+

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