Berechnung p(B|C) aus p(A), p(A|C) und p(B|A)

13.09.2008, 15:25

Nikolas

Berechnung p(B|C) aus p(A), p(A|C) und p(B|A)

Hallo

Ich rechne gerade alte Klausuren und bin auf diese Frage gestoßen:

Berechnen sie p(b=true|c=true) aus p(A), p(A|C) und p(B|A) (jeweils als 2*2 oder 2*1-Tabelle gegeben).

Mein erster Ansatz war eine Marginalisierung über A, also p(B|C)=sum(a=True, False) P(B|a,C)*p(a|C)

p(a|C)=p(C|a)*p(a)/p(C), wobei ich p(C) nicht habe, aber da p(a|C)+p(!a|C)=1, brauch ich den Wert nicht, da ich das ganze über eine Normalisierung ausrechnen kann.

Nur habe ich leider keinen Ansatz für das p(B|a,C). Da ich keine Informationen über eine Unabhängigkeit habe, darf ich hier keinen der gegebene Werte streichen, so dass ich hier nicht weiterkomme.

Hat da jemand eine Idee?

Nikolas

13.09.2008, 15:43

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Bei solchen bedingten Wahrscheinlichkeiten geht es sicher um so was wie Bayesche Formel & Co.

Was sind denn nun aber $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ bei dir? Sind das Ereignisse? Sind das Boolesche Zufallsvariablen? Das scheint mir etwas gemischt zu sein.

Ich vermute mal, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Ereignis und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Boolsche Zufallsvariable, die über $\begin{eqnarray*} A=[a=\mbox{true}] \end{eqnarray*}$ verknüpft sind (d.h., $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kennzeichnet das Ereignis, dass $\begin{eqnarray*} a=\mbox{true} \end{eqnarray*}$ ). Analog dann bei den Paaren $\begin{eqnarray*} B,b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C,c \end{eqnarray*}$ ?

Falls dem so ist, dann solltest du das dazusagen, sonst ist dein Beitrag unverständlich.

13.09.2008, 18:50

Nikolas

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genau. die kleinen Buchstaben sind boolsche Variablen und die Großbuchstaben stehen für eine positive Belegung.

13.09.2008, 19:07

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Dann verstehe ich aber folgendes nicht:

Zitat:

Original von Nikolas
p(A), p(A|C) und p(B|A) (jeweils als 2*2 oder 2*1-Tabelle gegeben).

Bei mir wären das gemäß obiger Interpretation nur drei Einzelwerte.

Oder meinst du das so:

" $\begin{eqnarray*} p(A|C) \end{eqnarray*}$ gegeben" ist gleichbedeutend mit " $\begin{eqnarray*} p(a=true|c=true) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(a=true|c=false) \end{eqnarray*}$ gegeben" (die anderen zwei mit a=false ergeben sich dann automatisch).

13.09.2008, 19:59

Nikolas

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Ich habe alle Einzelwerte gegeben. Bevor noch lang gerätselt wird, häng ich einfach mal die Aufgabe an.

Danke für deine Zeit : )

13.09.2008, 20:21

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Also genau das, was ich vermutet habe. Warum ist es so oft so ein K(r)ampf, ehe die Fragesteller die Aufgabe richtig und klar wiedergeben - selbst im Hochschulforum. Das werde ich wohl nie verstehen. unglücklich

Es gibt nicht wenige Threads, wo die Helfer nicht so beharrlich nachgefragt haben und sich die Fragesteller dadurch die Hilfe verbaut haben.

P.S.:

Zitat:

Original von Nikolas
Berechnen sie p(b=true|c=true) aus p(A), p(A|C) und
p(B|A) (jeweils als 2*2 oder 2*1-Tabelle gegeben).

Gemäß Scan ist aber nicht $\begin{eqnarray*} P(A|C) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} P(C|A) \end{eqnarray*}$ gegeben. Verfluchte Schlamperei, jetzt bin ich aber richtig sauer über diese Häufung. böse

13.09.2008, 21:10

Nikolas

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und warum hätte ich dann für p(C/A) noch den Bayes ansetzen sollen, wenn er doch schon gegeben ist? Die Schreibweise im ersten Post war anscheinend auch nicht allzu schwierig, die Unterscheidung nach Groß- und Kleinschreibung habe ich jetzt schon in zwei Vorlesungen gesehen.
Da man sich aus p(A) und P(A/C) auch P(C/A) ausrechnen kann, hat der Schreibfehler auch keine Auswirkung auf die Lösbarkeit der Aufgabe.

13.09.2008, 21:12

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Die Aufgabe ist gar nicht eindeutig lösbar: Mit wenigen Überlegungen kann man sich klarmachen, dass jede der folgenden gemeinsamen Verteilungen von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ den angegebenen Tabellen genügt:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|r|}\hline a & b & c & P(A=a,B=b,C=c)\\ \hline\hline \mbox{true} & \mbox{true} & \mbox{true} & u\\ \hline \mbox{true} & \mbox{true} & \mbox{false} & 0.08-u\\ \hline \mbox{true} & \mbox{false} & \mbox{true} & 0.03-u\\ \hline \mbox{true} & \mbox{false} & \mbox{false} & -0.01+u\\ \hline \mbox{false} & \mbox{true} & \mbox{true} & v\\ \hline \mbox{false} & \mbox{true} & \mbox{false} & 0.09-v\\ \hline \mbox{false} & \mbox{false} & \mbox{true} & 0.72-v\\ \hline \mbox{false} & \mbox{false} & \mbox{false} & 0.09+v\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} 0.01\leq u \leq 0.03 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq v \leq 0.09 \end{eqnarray*}$ variabel wählbar sind.

Das ergibt dann folgende gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} B,C \end{eqnarray*}$ , die ja entscheidend für die weitere Rechnung ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|r|}\hline b & c & P(B=b,C=c)\\ \hline\hline \mbox{true} & \mbox{true} & w\\ \hline \mbox{true} & \mbox{false} & 0.17-w\\ \hline \mbox{false} & \mbox{true} & 0.75-w\\ \hline \mbox{false} & \mbox{false} & 0.08+w\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} w=u+v \end{eqnarray*}$ , also möglichen Werten $\begin{eqnarray*} 0.01 \leq w\leq 0.12 \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich zwar ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} P(C=\mbox{true})=0.75 \end{eqnarray*}$ , aber ein variables

$\begin{eqnarray*} P(B=\mbox{true} \bigm| C=\mbox{true}) = \frac{P(B=\mbox{true},C=\mbox{true})}{P(C=\mbox{true})} = \frac{w}{0.75} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Nikolas
und warum hätte ich dann für p(C/A) noch den Bayes ansetzen sollen, wenn er doch schon gegeben ist? Die Schreibweise im ersten Post war anscheinend auch nicht allzu schwierig, die Unterscheidung nach Groß- und Kleinschreibung habe ich jetzt schon in zwei Vorlesungen gesehen.

Und daraus leitest du ab, dass das Usus ist überall in der Stochastik? Da hast du falsch gedacht.

13.09.2008, 21:57

Nikolas

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Vielen Dank : )

Wie lange hast du den daran gesessen? "wenige Überlegungen" hört sich eher schwierig an...

Ich werds mir durchlesen und auch meinen Tutor fragen, ich kann mir nicht vorstellen, dass das die vom Aufgabensteller intendierte Lösung ist.

13.09.2008, 22:10

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Zitat:

Original von Nikolas
Wie lange hast du den daran gesessen?

Das Überlegen ist im Kopf geschehen, nur die LaTeX-Formatierung der Tabelle dauert eben leider ein paar Minuten. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Nikolas
Ich werds mir durchlesen und auch meinen Tutor fragen, ich kann mir nicht vorstellen, dass das die vom Aufgabensteller intendierte Lösung ist.

Das kann schon sein, aber so wie die Voraussetzungen sind, gibt es nun mal keine eindeutige Lösung. Es sei denn, du hast nun auch noch beim Scan was abgeschnitten - aber das will ich dir mal nicht unterstellen.

14.09.2008, 10:19

Nikolas

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So. Mein Tutor meint, dass man hier wohl die Unabhängigkeit von b und c annehmen soll, wenn a gegeben ist. Sozusagen ein Baysches Netz mit a als wurzel mit b und c als Kindern.
In diesem Fall funktioniet dann der Ansatz über die Marginalisierung mit späterer Normalisierung.

Gut, dass das nicht in meiner Klausur dran kam.

Danke für deine Hilfe, beim nächsten Mal werde ich gleich die Originalfrage reinstellen. unglücklich

Nikolas

14.09.2008, 11:00

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Zitat:

Original von Nikolas
Mein Tutor meint, dass man hier wohl die Unabhängigkeit von b und c annehmen soll, wenn a gegeben ist.

Das ist natürlich eine entscheidende Zusatzinformation. Wäre schön, wenn die Aufgabensteller die mit abgedruckt hätten! Augenzwinkern

14.09.2008, 13:33

Nikolas

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Für so was hat man zum Glück noch eine Aufsicht in der Klausur. Im letzten Semester hatte ich Probleme bei einer Aufgabe und nach dem die Aufsicht dann den anwesenden Assistenten gefragt hat, hat er sich bei allen entschuldigt, dass er statt "höchstwertig" leider "niederwertigst" geschrieben hat...

15.09.2008, 11:00

Nikolas

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Hier also noch der Lösungsweg, wenn p(b|a,c)=p(b|a).
Großbuchstaben bezeichnen eine positive Variablenbelegung.

$\begin{eqnarray*} P(B|C)=\sum_{a=\top, \bot}p(B|C,a)*p(a|C) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \sum_{a=\top, \bot}p(B|C,a)*p(C|a)*p(a)/P(C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(C)=P(C|A)*P(A)+p(C|\neg A)*p(\neg A) =75/100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(B|C)=1/P(C)*[p(B|A)*P(C|A)*p(A)+p(B|\neg A)*P(C|\neg A)*p(\neg A)]=96/1000*100/75=128/1000 \end{eqnarray*}$

Alternativ kann man auch noch $\begin{eqnarray*} p(\neg B|C) \end{eqnarray*}$ wie oben ausrechnen und dann mit $\begin{eqnarray*} p(B|C) \end{eqnarray*}$ normalisieren. Dann bräuchte man p(C) nicht ausrechnen. Dieser Weg wäre hier etwas länger, aber vielleicht kann man Mal p(C) nicht direkt ausrechnen und muss über die Normalisierung gehen.

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