Ableitung per Differenzenquotienten!

16.06.2006, 22:58

Memoli

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Ableitung per Differenzenquotienten!

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe, wofür ich den kompletten Rechenweg + Lösung brauche, um es nachvollzuziehen zu können.

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitung f mit (fx)=ax²+bx +c an der Stelle mit x0 mit Hilfe des Differenzenquotienten!

Danke im Voraus

16.06.2006, 23:30

vektorraum

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RE: Ableitung per Differenzenquotienten!
Hi!

Zur Wiederholung die Definition:

Der Term $\begin{eqnarray*} \cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ heißt der Differenzenqoutient von f an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Eine Funktion f heißt dann in dieser Stelle in ihrem Definitionsbereich differenzierbar, wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

exisitert. Der Grenzwert heißt dann erste Ableitung.

Das erstmal zur Theorie.
Ich will es dir mal an einem Beispiel vormachen, für deine Aufgabe kannst du es dir dann analog dazu überlegen.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-x, x \in \mathbb R, x_0=2 \end{eqnarray*}$
Dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2} \cfrac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \cfrac{x^2-x-2}{x-2}=\lim_{x \rightarrow 2} \cfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=\lim_{x \rightarrow 2} (x+1)=3=f'(2) \end{eqnarray*}$

Hoffe, dass dir das Beispiel ein wenig verständlich macht, was mit deiner Aufgabe gemeint ist.

16.06.2006, 23:57

Ben Sisko

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Verschoben

17.06.2006, 01:30

JochenX

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Zitat:

Ich habe eine Aufgabe, wofür ich den kompletten Rechenweg + Lösung brauche, um es nachvollzuziehen zu können.

Du solltest inzwischen wissen, dass es das hier im Forum nicht gibt.
Eigentlich finde ich deinen Eröffnungspost alles in allem (diese Forderung nach der Lösung, keinerlei eigene Ansätze, eigenes Wissen....) ziemlich daneben und du solltest das überdenken.

Wenn du nämlich diese ganzen grundlegenden Dinge, die Vektorraum da noch mal aufgeschrieben hat, schon wusstest, dann hätte er sich einige Arbeit sparen können und z.B. direkt mit dem Beispiel anfangen können.
Wenn du sie noch nicht wusstest, weiß ich nicht, warum du fragst, ohne dir die Grundkenntnisse erst mal aus deinem Aufschrieb/Buch zusammenzulesen.

Vektorraum, bitte verstehe mich nicht falsch, ich finde es schön, dass du dich hier mit einem so engagierten Post gemeldet hast, aber ich finde, auf eine Anfrage wie diese, ist das nicht die richtige Antwort.

Liebgruß, Jochen

17.06.2006, 10:28

Memoli

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Ja ,sorry, hast auch recht, ich hätte mehr schreiben sollen, wo ich probleme habe. Ich war/bin nur in Zeitdruck deshalb ging es nicht anders!

@ vektorraum Danke für die Info smile

smile

Ich bin inzwischen soweit:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax²+bx +c-(ax0²+bx0+c)}{x-x0} \end{eqnarray*}$

Polynomdivision:

ax²+bx+c-ax0²+bx0+c : (x-x0)=

Ich habe schwierigkeiten mit der Polynomdivision vor allem wenn ich keine Zahlenwerte habe. Bei mir ist es so, wen ich den Rechenweg habe, dass ichs leichter nachvollziehen kann.

und sorry nochmal..bin wirklich in Zeitdruck!

17.06.2006, 10:37

JochenX

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Zitat:

\frac{ax²+bx +c-(ax0²+bx0+c}{x-x0}

sollen wir das so lesen? Latextags nicht vergessen! =>

code:
1:	[latex]LATEXCODE[/latex]

am besten Indizes mit _ einleiten und Hochzahlen besser mit ^ statt ²; eine Klammer zu hat noch gefehlt

code:
1:	[latex]\frac{ax²+bx +c-(ax_0^2+bx_0+c)}{x-x0}[/latex]

so siehts dann aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{ax²+bx +c-(ax_0^2+bx_0+c)}{x-x0} \end{eqnarray*}$

desweiteren NICHT vergessen solltest du den LIMES

Zur Berechnung:
löse die Minusklammer bitte mal RICHTIG auf.
Vor der PD würde ich dir empfehlen, den Bruch erst mal auseinanderzuziehen, wie das z.B. hier auch gemacht wurde.

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17.06.2006, 10:38

kikira

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Das ist auch nicht nötig, denn du brauchst nur die quadrate anordnen, die x'e und die Zahlen und dann nach den binomischen Formeln aufspalten in eine Multiplikation, dann kannst du den Nenner wegkürzen.
Denn das ist das Bestreben - den Nenner wegzukürzen.

Wichtig ist aber, dass du jedes Mal davor noch den limes setzt, denn solange der Nenner noch da ist, kannst du x nicht an x0 annähern lassen, da sonst der nenner "0" werden würde.

lg kiki

17.06.2006, 14:05

Memoli

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$\begin{eqnarray*} ax²+bx +c-ax_0^2-bx_0-c):x-x0= \end{eqnarray*}$

so ist klammer richtig aufgelöst smile

smile

@leod danke für die info

@kikira

hab das nicht so wirklich verstanden, wie du es meinst. verwirrt

verwirrt

17.06.2006, 15:10

mercany

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Zitat:

@kikira

hab das nicht so wirklich verstanden, wie du es meinst. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{dy}{dx}&=&\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &=& \lim_{x \to x_0} \frac{ax^2 + bx + c - (ax_0^2 + bx_0 + c)}{x-x_0} \\&=& \lim_{x \to x_0} \frac{ax^2 + bx + c - ax_0^2 - bx_0 - c)}{x-x_0} \\ &=& \lim_{x \to x_0} \frac{ax^2 -ax_0^2 + bx - bx_0 + c - c}{x-x_0} \\ &=&\lim_{x \to x_0} \frac{ a\cdot(x^2-x_0^2) + b(x-x_0)}{x-x_0} \\&=& .... \end{eqnarray*}$

Binomische Formel erkennen, kürzen, limes bilden und Fertig!

Gruß, mercany

17.06.2006, 15:42

kikira

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Genauso meinte ich es. Danke mercany. Bin völlig aus der Übung mit dem Formeleditor, falls man davon sprechen kann, dass ich jemals damit in der Übung war, hihi.

lg kiki

17.06.2006, 15:48

mercany

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Zitat:

Original von kikira
Genauso meinte ich es. Danke mercany. Bin völlig aus der Übung mit dem Formeleditor, falls man davon sprechen kann, dass ich jemals damit in der Übung war, hihi.

lg kiki

Kein Ding. Du hast mir in der Vergangenheit ja auch einiges geholfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schön, dich hier mal wieder etwas öfters zu sehen.... smile

smile

Gruß, mercany

17.06.2006, 16:18

Memoli

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hmm ich verstehe nicht wie ihr auf $\begin{eqnarray*} bx²_0 \end{eqnarray*}$ kommt?

17.06.2006, 16:22

mercany

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Zitat:

Original von Memoli
hmm ich verstehe nicht wie ihr auf $\begin{eqnarray*} bx²_0 \end{eqnarray*}$ kommt?

Entschuldige, das war ein Schreibfehler von mir. Ich habe es oben jeweils verbessert!

Gruß, mercany

17.06.2006, 18:49

Memoli

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wie kürz ich das denn?

bleibt dann nur noch a *(x²-x²0) übrig? Kein plan die ganzen buchstaben verwirren mich eh nur unglücklich

unglücklich

17.06.2006, 20:01

kikira

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Kennst du die binomischen Formeln?

a² - b² = (a - b) * (a + b)

Wann darf man kürzen? - aus Multiplikationen

z.b.

$\begin{eqnarray*} \frac{a - b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{(a - b) * (a + b)} = \frac{1}{a + b} \end{eqnarray*}$

lg kiki

17.06.2006, 20:49

Memoli

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aja danke kikira smile

smile

wenn ichs kürze bleibt nur noch:

$\begin{eqnarray*} ax +ax_0 +b \end{eqnarray*}$

daher $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2ax_0 + b \end{eqnarray*}$

oder?

noch zwei Frage nebenbei, ich weiß nicht ob ich dafür extra Thread aufmachen sollte oder hier mit posten kann?.. Ich mach das einfachmal hier.

1)Wie kann vom einem Graphen f'(x) zur f(x) kommen? Also zeichnerisch.

z.B. eine Gerade f'(x) ist vorgegeben, f(x) muss daher ja eine Parabel sein. Wie kann ich das zeichnen?

2) wenn z.B. eine Ableitung geben ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x² +6x -2 \end{eqnarray*}$

und ich mehr als 2 Funktionen angeben soll, die die Ableitung haben?

eine wäre ja: $\begin{eqnarray*} f(x)=x³ + 3x² -2x \end{eqnarray*}$

Nur wie kann eine zweite noch aussehen?

Danke im Voraus für die Hilfe smile

smile

17.06.2006, 21:39

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

ad 2)
f'(x) = 3x² - 6x + 2

daher, wie du richtig erkannt hast, muss eine!!!! (denn es gibt unendlich viele dazu) lauten:

f(x) = x³ - 3x² + 2x

das stimmt!

Und nun leite einmal folgende Funktionen ab und vergleiche mit deinem f'(x) von oben. Was fällt dir auf?

f(x) = x³ - 3x² + 2x - 8

oder:

f(x) = x³ - 3x² + 2x - 100,5

oder:

f(x) = x³ - 3x² + 2x + 259,238423847238497

Merkst du was?
Und wenn, was?

lg kiki

edit: wieder mal den rest der fragen überlesen:

ad 1)

Wenn du die Zeichnung einer Funktion gegeben hast und zeichnerisch zurückführen willst auf die vorige Ableitung, dann geht das folgendermaßen:

Die Nullstelle deiner Zeichnung muss der Extremwert der vorigen Ableitung gewesen sein.
Der Extremwert deiner Zeichnung muss der Wendepunkt der vorigen Ableitung gewesen sein.

Am besten zeichnest du mal die Funktion:

f(x) = x² - 3x + 5

dann leite sie ab und zeichne die Ableitung.

Und dann vollzieh anhand deiner 2 Zeichnungen nach, was ich grad erklärt hab.

ad 1)

ja, du hast richtig gekürzt.
Zur Überprüfung bräuchtest du ja nur deine Funktion auf die übliche Art ableiten und dann siehst du, ob du den limes richtig berechnet hast.
Denn beide Methoden führen zu ein und demselben, nämlich zu f'(x)

18.06.2006, 14:57

Memoli

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danke dir kikira Big Laugh

Big Laugh

darauf hätt ich eigentlich selber auch kommen müssen Hammer

Hammer

Das was ende steht ohne x fällt ja weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab mal eine Zechung hier als Anhang reingetan.

http://web41.server108.star-server.info/bilder/mathe.jpg

Ich versteh nicht wie ich von der gerade(ableitung) zur der parabel(Funktion) komme.

Villeicht kannst du oder jemand anderes mir das anhand dieses Beispiels erklären smile

smile

und hier komme ich auch nicht weiter verwirrt

verwirrt

f(x)= 1/kx³ +2x² +kx

Nullstellen und Extremwerte berechnen.

für NS hab ich erstmal x ausgeklammert

daher:

f(x)= x(1/kx² +2x +k)

Die erste NS liegt also bei $\begin{eqnarray*} x0_1=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich die Funktion gleich 0 und pq-Formel

1/kx² +2x +k = 0 * k

x² +2kx +k²=0

x1/2= - 2k/2 + - in Wurzel (2k/2)² -k²

soweit bin ich gekommen, hoffe das es auch richtig ist, aber weiß nicht weiter. Bin für jede Hilfe dankbar smile

smile

18.06.2006, 15:33

kikira

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Zitat:

Original von Memoli

http://web41.server108.star-server.info/bilder/mathe.jpg

Ich versteh nicht wie ich von der gerade(ableitung) zur der parabel(Funktion) komme.

Villeicht kannst du oder jemand anderes mir das anhand dieses Beispiels erklären smile

smile

Also:

Die 1. Ableitung ist die Steigung der Tangente in einem Punkt der Kurve.

Zeichne mal bei der Parabel die Tangente in den Nullstellen ein und lies dir dann die Steigung ab.

Die Nullstellen der Parabel sind (0/0) und (6/0).
Im Punkt (0/0) hat die Tangente die Steigung 3.
Also lautet nun ein Punkt deiner Gerade (=1. Ableitung) (x /f'(x) )
P = (0/3)

Im Punkt (6/0) hat die Tangente die Steigung -3.
Also lautet nun ein PUnkt der Gerade (6 / -3).

Die Parabel hat den Hochpunkt (3 / irgendwas).
Und das ist dann die Nullstelle der 1. Ableitung - also deiner Geraden.
Denn den Hochpunkt berechnet man ja, indem man die 1. Ableitung 0 setzt.

verstehst nun, wie man sich zurück oder nach vor hanteln kann?

2)
gib mal die komplette Angabe von diesem k-Beispiel. Was sollst da berechnen? da muss ja noch irgendwas gegeben sein.

lg kiki

18.06.2006, 16:21

Memoli

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm deine erklärung bezieht sich irgendwie darauf wie ich von der Parabel zur Gerade komme, das weiß ich ja auch, aber wie komm ich wenn mir nur die Gerade gegeben ist, auf die Parabel? Das hab ich immer noch nicht so wirklich verstanden.

Die K Aufgabe ist komplett so.

f(x)=1/k³ +2x² +kx

Brechnen Sie die Nullstellen und die Extremwerte!

18.06.2006, 16:33

mercany

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An der Stelle wo der Graph von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse schneidet, besitzt der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sein Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt). Benutze, dass eine Parabel zu ihrem Extremum symmetrisch ist und du kannst sie ungefähr einzeichnen.

Zu der Parameteraufgabe mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ :
Berechne Nullstellen und Extrema in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Beim differenzieren siehst du $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als Konstante an.

Gruß, mercany

18.06.2006, 17:25

Memoli

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das mit der zeichnung check ich einfahc nicht...naja danke trotzdem!

für K

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{k} x³ +2x² +kx \end{eqnarray*}$

für NS hab ich erstmal x ausgeklammert

daher:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x( \frac{1}{k}x² +2x +k) \end{eqnarray*}$

Die erste NS liegt also bei x=0

Jetzt setze ich die Funktion gleich 0 und pq-Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}x² +2x +k = 0 \end{eqnarray*}$ * k

$\begin{eqnarray*} x² +2kx +k²=0 \end{eqnarray*}$

x1/2= $\begin{eqnarray*} - \frac{2k}{2} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(\frac{2k}{2} )² -k²} \end{eqnarray*}$

weiter komm ich leider nicht...keine ahnung wich das in der wurzel auflöse unglücklich

unglücklich

18.06.2006, 17:27

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

in der wurzel KÜRZEN!
mfG 20

18.06.2006, 17:45

Memoli

Auf diesen Beitrag antworten »

ja wenn ichs wüsste wie, hätt ichs gemacht oder? verwirrt

verwirrt

18.06.2006, 18:22

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn 2k durch 2 ?

vor der wurzel kannst du dasselbe kürzen...

mfG 20

18.06.2006, 18:29

Memoli

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x1/2= $\begin{eqnarray*} - k \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{k² -k²} \end{eqnarray*}$

ists so richtig gekürzt?

18.06.2006, 18:49

zweiundvierzig

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Ja, und wie lautet dieser Ausdruck verinfacht?

18.06.2006, 18:59

kikira

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Wie kommst du auf nte Wurzel?
Das ist doch die quadratische Auflösungsformel, also ziehst du die quadratwurzel.

was ist denn k² - k² und was ist die Wurzel dann daraus?

lg kiki

18.06.2006, 20:30

kikira

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Zitat:

Original von kikira
ad 1)

Wenn du die Zeichnung einer Funktion gegeben hast und zeichnerisch zurückführen willst auf die vorige Ableitung, dann geht das folgendermaßen:

Die Nullstelle deiner Zeichnung muss der Extremwert der vorigen Ableitung gewesen sein.
Der Extremwert deiner Zeichnung muss der Wendepunkt der vorigen Ableitung gewesen sein.

Am besten zeichnest du mal die Funktion:

f(x) = x² - 3x + 5

dann leite sie ab und zeichne die Ableitung.

Und dann vollzieh anhand deiner 2 Zeichnungen nach, was ich grad erklärt hab.

Das hab ich dir aber auch schon erklärt.
Beide Wege - vor und zurück.

lg kiki

18.06.2006, 21:06

Memoli

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k² - k² ist 0 die Wurzeldraus also auch 0?

18.06.2006, 21:19

kikira

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Ja klar. Wurzel(4) = +/- 2 , weil +2 * 2 = 4 und -2 * (-2) = 4

Wurzel(0) = 0 weil 0 * 0 = 0

lg kiki

18.06.2006, 21:31

zweiundvierzig

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Ja.

//Edit: kiki war schneller, mich hatte der Telnet-Stream zu sehr in Beschlag genommen smile

smile

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