Zahlentheorie: appr. of irrationals by rationals

16.06.2006, 23:04	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: appr. of irrationals by rationals n´abend $\begin{eqnarray} \sqrt{2} = 1,414213... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5\cdot \sqrt{2} = 7,07106... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 99\cdot \sqrt{2} = 140,00714... \end{eqnarray}$ Ich möchte durch Multplikation mit natürlichen Zahlen hinter dem Komma Nullen erzeugen. Weiß jemand wie ich die nächste Stelle hinbekomme(ausrechnen kann ?)? Nach einem Theorem zufolge,das ich auf nachfrage auch posten könnte ist die gesuchte Zahl $\begin{eqnarray} \leq 1000 \end{eqnarray}$ . Den Beweis poste ich aber nicht weil er zu lang ist.
17.06.2006, 00:46	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe dich falsch zu verstehen, aber probierst du tatsächlich irrationale Zahlen durch multiplikation mit "großen" ganzen Zahlen zu einer eben solchen ganzen Zahl zu machen ? Wenn du weitere Stellen hinterm Komma wissen willst: reicht das fürs erste? Und was versuchst du nun eigentlich genau zu machen ??
17.06.2006, 12:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Paare $\begin{eqnarray} (a_n,b_n) \end{eqnarray}$ ganzer Zahlen mit $\begin{eqnarray} (1\pm\sqrt{2})^n = a_n\pm b_n\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Für die gilt nämlich $\begin{eqnarray} b_n\sqrt{2} = a_n-\underbrace{(1-\sqrt{2})^n}_{\to 0\;\mbox{für}\;n\to\infty} \end{eqnarray}$ Und gemäß $\begin{eqnarray} a_n\pm b_n\sqrt{2} &=& (1\pm\sqrt{2})^n = (1\pm\sqrt{2})^{n-1}\cdot (1\pm \sqrt{2}) = (a_{n-1}\pm b_{n-1}\sqrt{2})\cdot (1\pm \sqrt{2})\\ &=& (a_{n-1}+2b_{n-1}) \pm (a_{n-1}+b_{n-1})\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ergibt sich die Rekursion $\begin{eqnarray} a_0 &=& 1\\ b_0 &=& 0\\ a_n &=& a_{n-1}+2b_{n-1}\\ b_n &=& a_{n-1}+b_{n-1} \end{eqnarray}$ , das ergibt nacheinander die Paare (1,0), (1,1), (3,2), (7,5), (17,12), (41,29), (99,70), (239,169), (577,408), (1393,985), ... Genaugenommen handelt es sich bei $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray}$ um Näherungsbrüche von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , die aus der Kettenbruchentwicklung von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ gewonnen werden. Für deine Belange sind allerdings nur die ungeraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu gebrauchen, da für die geraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sowas passiert: $\begin{eqnarray} b_8\sqrt{2} = 408\sqrt{2} \approx 576.9991334 < a_8 \end{eqnarray}$ d.h. man ehält ,99... statt wie gewünscht ,00..., letzteres klappt aber bei den ungeraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ .
17.06.2006, 16:33	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Arthur
17.06.2006, 17:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal nachfragen: Ist es das, was ihr da gerade behandelt, Kettenbrüche?

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