Fourrierreihenentwicklung x²

17.06.2006, 13:30

SADASADA

Fourrierreihenentwicklung x²

http://img239.imageshack.us/img239/3231/fu8kp.jpg

Funktion ist gerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}~x^2 cos(nx)~dx= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}~x^2 cos(nx)~dx \end{eqnarray*}$

partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)- \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}~2x sin(nx)~dx] \end{eqnarray*}$

partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)- \frac{1}{n}4\pi(-\frac{1}{n})cos(n2\pi)\int_{0}^{2\pi}~2(-\frac{1}{n}cos(nx)~dx] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)-\frac{1}{n^4}4\pi cos(n2\pi)2~sin(2\pi n)] \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig ? Kann mir nich vorstellen das da ne gescheite Reihe rauskommt...

17.06.2006, 13:36

SADASADA

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Moment ich hab was falsch gemacht...

17.06.2006, 13:38

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Ja, die Integralgrenzen... Aber lass dir Zeit.

17.06.2006, 13:51

SADASADA

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RE: Fourrierreihenentwicklung x²
Funktion ist gerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}~x^2 cos(nx)~dx= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}~x^2 cos(nx)~dx \end{eqnarray*}$

partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)- \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}~2x sin(nx)~dx] \end{eqnarray*}$

partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)- \frac{1}{n}[4\pi(-\frac{1}{n})cos(n2\pi)-\int_{0}^{2\pi}~2(-\frac{1}{n}cos(nx)~dx]] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\pi}[(2\pi)^2 \frac{1}{n} sin(n2\pi)-(-\frac{1}{n^2})4\pi cos(n2\pi)- \frac{2}{n^3}~sin(n2\pi)] \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es nach meinem Verständnis korrekt.
Ist das richtig gerechnet ?
Ich glaub ich mach was falsch verwirrt

17.06.2006, 13:56

SADASADA

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ja, die Integralgrenzen... Aber lass dir Zeit.

Wieso denn blos ?

17.06.2006, 14:18

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Du musst von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ integrieren - aber du wechselst mittendrin plötzlich auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ um. Das mag bei $\begin{eqnarray*} \cos(nx),\sin(nx) \end{eqnarray*}$ egal sein, aber nicht bei $\begin{eqnarray*} x,x^2 \end{eqnarray*}$ !!!

17.06.2006, 14:31

SADASADA

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In meinem Skript steht $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~f(x)~dx = \int_{0}^{2\pi}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ ...
ist also falsch ?

17.06.2006, 14:44

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Da steht aber auch als Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist!!!

Und das trifft auf $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cos(nx) \end{eqnarray*}$ nicht zu.

17.06.2006, 14:49

SADASADA

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steht doch aber in der Aufgabenstellung das es 2pi - periodisch ist.

17.06.2006, 14:59

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Aargghhh!!!

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cos(nx) \end{eqnarray*}$ ist definitiv nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, denn es ist $\begin{eqnarray*} f(0)=0\neq 4\pi^2=f(2\pi) \end{eqnarray*}$ .

In der Aufgabenstellung steht was anderes: Da wird die nur auf $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ definierte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cos(nx),\qquad -\pi\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$

zu einer auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definierten Funktion so erweitert, dass diese $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch ist.

Das ist aber eine andere Funktion als

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cos(nx),\qquad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

17.06.2006, 18:51

SADASADA

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Sry..

Bin noch nicht so fit darin..
Also nochmal neu ->

Ich lass jetzt mal alle $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ gleich weg weil die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden...

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\cdot cos(nx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n\pi} \int_{-\pi}^{\pi}2x\cdot sin(nx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n\pi}[-\frac{1}{n}\cdot 2\pi \cdot cos(n\pi)-(-2\pi)\cdot(-\frac{1}{n})\cdot cos(-n\pi)-(-\frac{2}{n})\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)~dx] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2\pi \cdot cos(n\pi)}{n^2\pi}+ \frac{2\pi \cdot cos(-n\pi)}{n^2\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4 cos(n\pi)}{n^2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

17.06.2006, 19:08

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Das kannst du noch vereinfachen, denn es ist $\begin{eqnarray*} \cos(n\pi)=(-1)^n \end{eqnarray*}$ .

Naja Ok, das sieht vielleicht nicht jeder als Vereinfachung an - ich schon. Augenzwinkern

17.06.2006, 19:23

SADASADA

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Gut Danke! smile

Kann ich bei dieser:

http://img127.imageshack.us/img127/1551/sda5dy.jpg

diesen $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~f(x)~dx = \int_{0}^{2\pi}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ Kniff anwenden ?

17.06.2006, 19:48

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Nein, das sind zwei unterschiedliche Funktionen. Die erste sieht so aus

,

und die zweite so

.

Aber trotzdem kann man über $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x-\pi)+\pi \end{eqnarray*}$ eine Verbindung beider Fourierreihen herstellen, dabei soll $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die erste und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die zweite Funktion sein.

17.06.2006, 22:28

SADASADA

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jetzt verstehe ich... Freude

nochmal zu der ersten Aufgabe...
Für die Fourierreihe hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4 \sum_{n=1}^\infty ~(-1)^n \frac{1}{n^2} cos(nx) \end{eqnarray*}$

und für die zweite reelle Form:

$\begin{eqnarray*} A_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2} = a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan~\alpha_n=\frac{a_n}{b_n} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi^2}{3}+ \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}sin(nx + 0) \end{eqnarray*}$

verwirrt

--- Doppelpost zusammengefügt! ---

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