Gleichung mit Variablen

14.09.2008, 16:52

ata

Gleichung mit Variablen

Hallo ich verstehe folgende Gleichung nicht, könnte mir jemand helfen sie zu lösen oder erklären wie ich vorgehen sollte?

a * (x+b) = c * (1-b*x)

14.09.2008, 17:17

Jacques

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Hallo,

Warum löst Du nicht einfach erstmal die Klammern auf?

14.09.2008, 17:19

Q-fLaDeN

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Willst du die Gleichung nach x auflösen?

14.09.2008, 18:42

ata

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Antwort
Hallo, das Ziel der Aufgabe lautet: " Geben Sie an unter welchen Bedingungen für a, b und c keine, eine bzw. unendlcih viele Lösungen existieren."

14.09.2008, 18:52

Jacques

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Wäre nett, wenn Du sowas gleich hinschreibst, denn das geht in eine ganz andere Richtung als das reine Lösen. Augenzwinkern

Was wäre denn z. B. bei a = 0 und c = 0? Also ist Dir grundsätzlich klar, wann eine Gleichung keine bzw. unendlich viele Lösungen hat?

14.09.2008, 18:57

ata

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Antwort
Ja ehrlich gesagt verstehe ich überhaupt nicht was man von mir will.
Was gesucht ist warum und wie :-(...

14.09.2008, 19:21

Jacques

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OK, aber Du müsstest schon mitarbeiten. Denn keiner wird Dir die Aufgabe vorrechnen.

Zitat:

Was wäre denn z. B. bei a = 0 und c = 0? Also ist Dir grundsätzlich klar, wann eine Gleichung keine bzw. unendlich viele Lösungen hat?

14.09.2008, 19:59

mYthos

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a,b,c nennt man Formvariable, x ist die Variable, nach welcher gelöst werden soll. Diesen Unterschied sollte man immer kennen. Zu bemerken ist noch, dass a, b, c reell sein sollen. Ausserdem muss die Grundmenge, in welcher die Gleichung gelten soll, angegeben werden!

Man muss nicht von vornherein Fallunterscheidungen für a, b, c = 0, 0, 0 oder dgl. vornehmen, das ist kontraproduktiv. Die notwendigen Fallunterscheidungen ergeben sich im Laufe der Berechnung schon noch von selbst Big Laugh

Wir formen die Gleichung nun nach den Äquivalenzregeln um, also Klammern auflösen, x-Glieder zusammenfassen, x ausklammern. Erst beim Dividieren durch Terme, die die Formvariablen enthalten, ist Vorsicht geboten, d.h. ab hier muss man Fallunterscheidungen vornehmen, je nachdem, ob der Divisor 0 ist oder nicht. ...

------------

Ein anderes kleines Beispiel, welches du vielleicht dann auf deines anwenden kannst:

$\begin{eqnarray*} x(a - b) = a^2 - b^2 \ ; \ \ a,b \in \mathbb{R} \ , \ G = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

1.

$\begin{eqnarray*} a - b \neq 0 \ \ [a \neq b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = a + b \end{eqnarray*}$

L = { a + b }
________________

2.

$\begin{eqnarray*} a - b = 0 \ \ [a = b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

L = { G }
________________

mY+

14.09.2008, 20:19

ata

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Gleichung mit Variablen
Vielen Dank das habe ich verstanden ich muss also versuchen nach X aufzulösen nur verstehe ich nicht wie ich dort hinkomme ich habe das x ausgeklammert aber drehe mich immer wieder im Kreis.

14.09.2008, 21:03

Jacques

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Dann schreibe bitte die Umformungen auf, die Du schon gemacht hast.

Woher sollen wir sonst wissen, wo das Problem liegt? unglücklich

14.09.2008, 22:08

ata

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Gleichung mit Variablen
Also ich habe a *(x+b) = c * (1-b*x) umgeformt zu

a *(x+b)/(1-b*x) = c

Dann habe ich das in die Ursprungsgleichung eingesetzt und heraus kommt nach dem kürzen

ax + ab = ax + ab und das kann wohl nicht richtig sein schätze ich mal könntet ihr mir vielleicht sagen wo mein Fehler liegt?

14.09.2008, 22:10

Jacques

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Gleichungen einsetzen geht nur, wenn man mehrere Gleichungen hat (also in Gleichungssystemen). Man kann nicht eine einzelne Gleichung in sich selbst einsetzen.

Denke daran, dass Du die Gleichung nach x auflösen sollst. Ein erster Schritt wäre dann das Auflösen der Klammern.

14.09.2008, 22:46

mYthos

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Ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} ax - c = bx - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax - bx = c - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(a - b) = c - d \end{eqnarray*}$

1.

$\begin{eqnarray*} a - b \neq 0 \end{eqnarray*}$

dann darf man dividieren

$\begin{eqnarray*} x = \frac{c - d}{a - b} \end{eqnarray*}$

2.a.

a - b = 0
c - d = 0

$\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
....

2.b.

$\begin{eqnarray*} a - b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c - d \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = c - d \end{eqnarray*}$ (rechte Seite ungleich 0)

L = {} (leere Menge

mY+

15.09.2008, 07:53

ata

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Lösung der Gleichung
Ich habe ausgerechnet

x = C/a * (1+b+b)

Ist das richtig?

15.09.2008, 09:51

kikira

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RE: Lösung der Gleichung
Nö...

Deine Gleichung lautet: a ( x + b) = c ( 1 - bx)

Nun alles ausmultiplizieren:

ax + ab = c - bcx

Nun sind in der Gleichung 2 Ausdrücke drin, die x enthalten und dein Bestreben ist es nun, diese Ausdrücke auf eine Seite zu bringen und die anderen auf die andere Seite zu bringen:

ax + bcx = c - ab

Deswegen auf eine Seite bringen, damit du dir nun x herausheben kannst:

x * ( a + b) = c - ab

Und nun die Gleichung durch (a + b) durchdividieren, damit x alleine steht:

x = ( c - ab) / (a + b)

Nun verstanden?

lg, kiki

15.09.2008, 10:14

Jacques

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@ ata:

Ich dachte, man soll die Bedingungen angeben, bei denen es unendlich viele, keine und genau eine Lösung(en) gibt! verwirrt

Und lies Dir, bitte, auch die Beiträge hier durch. mYthos hat das Prinzip doch schon in zwei Beispielen deutlich gemacht. Wenn Dir etwas daran unklar ist, dann frage danach!

Vielleicht nochmal ein Beispiel:
(ansonsten siehe mYthos´ Beitrag)

$\begin{eqnarray*} a \cdot x = b \cdot (x + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot x = b \cdot x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot x - b \cdot x = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - b) \cdot x = b \end{eqnarray*}$

Um jetzt durch a - b dividieren zu können, muss man

$\begin{eqnarray*} a - b \neq 0 \quad [\Longleftrightarrow\ a \neq b ] \end{eqnarray*}$

festlegen. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{b}{a - b} \end{eqnarray*}$

Also:

Genau eine Lösung bei $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$

Jetzt untersucht man aber auch den Fall, dass a = b. Dabei ergibt sich

$\begin{eqnarray*} (a - b) \cdot x = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = b \end{eqnarray*}$

Über die Lösungsmenge bestimmt jetzt noch b:

Ist b = 0, gibt es unendlich viele Lösungen (die gesamte Grundmenge)

Ist b ungleich 0, gibt es keine Lösung

Also:

Unendlich viele Lösungen bei $\begin{eqnarray*} a = b \ \wedge \ b = 0 \end{eqnarray*}$

Keine Lösung bei $\begin{eqnarray*} a = b \ \wedge \ b \neq 0 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 10:34

ata

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Antwort
Ja also das ist echt nett von dir das du mir das aufschreibst aber ich bin zu einem anderen Ergebnis gekommen nämlich

x = c - ab/ a + cb

ich glaube du hast das C in der zweiten Gleichung vergessen oder?

15.09.2008, 10:47

Jacques

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Ja, hat sie. Wobei ich nicht verstehe, warum Du die Komplettlösung aufschreibst @ kikira

Und nochmal @ ata

Was Du hier machst, ist einfach nur unfair. Die Aufgabenstellung lautet (jedenfalls hast Du es so geschrieben):

Zitat:

Geben Sie an unter welchen Bedingungen für a, b und c keine, eine bzw. unendlcih viele Lösungen existieren.

Dazu haben mythos´ und ich Dir ausführliche Erklärungen gegeben. Aber Du gehst nicht mit einem Wort darauf ein, sondern ignorierst die Beiträge vollkommen und rechnest irgendwie nach einer ganz anderen Aufgabenstellung. böse

Ja, was denn jetzt? Lautet die Aufgabe jetzt doch anders? Und willst Du nun Hilfe oder nicht?

15.09.2008, 11:05

kikira

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Ups, stimmt, ich hab das c untern Tisch fallen lassen.

Ich hab es deswegen vorgerechnet, weil ich das Gefühl beim Durchlesen des Threads hatte, dass sie schon völlig verwirrt ist und nicht mal mehr weiß, wonach sie auflösen soll und wie man mit Gleichungen umgeht.
Manchmal ist es einfach hilfreich, den Lösungsweg inklusive Erklärungen zu sehen, damit man es nachvollziehen kann.

lg, kiki

15.09.2008, 11:14

ata

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Antwort
Doch doch es tut mir leid wenn es ein Missverständnis gab aber ich dachte das die gennante Aufgabstellung der Weg also ist, die Gleichung nach X auszurechnen ich verstehe nicht was sie aufgeschrieben haben.

Also ich verstehe den Zusammenhang nicht.

15.09.2008, 11:21

Jacques

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@ ata:

OK, aber dann frage doch einfach nach. Die Lösungsansätze zu ignorieren, wenn man sie nicht versteht, ist wirklich keine gute Idee, glaube ich. Augenzwinkern

Die Aufgabenstellung bedeutet nicht nur, dass man die Gleichung nach x auflösen soll. Sondern es geht weit darüber hinaus:

Man soll angeben, wie a, b, c lauten können, damit die Gleichung

-- keine Lösung

-- genau eine Lösung

-- unendlich viele Lösungen

hat. Wie man das macht, haben wir Dir zu zeigen versucht. Augenzwinkern

Also was genau ist unklar? Wie gesagt, die Umformung nach x ist nicht Ziel der Aufgabe, jedenfalls nicht das einzige.

15.09.2008, 11:30

ata

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Antwort
Also ich will noch sagen das das Lösen der Gleichung nach X auch gefragt war tut mir leid das ich das vergessen habe zu sagen.

15.09.2008, 11:31

ata

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Antwort
Doch ich denke schon das ich es jetzt verstanden hat ich muss hinschreiben ob es im Nenner einer Variable 0 gibt oder nicht oder?

15.09.2008, 11:36

Jacques

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RE: Antwort

Zitat:

Original von ata

Also ich will noch sagen das das Lösen der Gleichung nach X auch gefragt war tut mir leid das ich das vergessen habe zu sagen.

Das gehört soweiso schon automatisch zur Aufgabe (und zwar zur Frage, wann es genau eine Lösung gibt)

Zitat:

Original von ata

Doch ich denke schon das ich es jetzt verstanden hat ich muss hinschreiben ob es im Nenner einer Variable 0 gibt oder nicht oder?

Das wäre eine Variante für den Fall, dass die Gleichung keine Lösungen hat. Aber es geht ja noch weiter.

Sieh Dir die Beispiele an. Augenzwinkern

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