Extremwertaufgabe [war: Bestimmung der Funktionsgleichung]

14.09.2008, 16:52

JBeats7

Extremwertaufgabe [war: Bestimmung der Funktionsgleichung]

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, und habe keine ahnung, wie so etwas zu rechnen ist.

die funktion f ist gegeben durch:

f(x)=-1/3x^2+3

Das schaubild der funktion schließt mit der x-ache eine oberhalb der x-achse liegende fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass zwei ecken auf der x-achse, die beiden anderen Ecken auf dem Parabelbogen liegen. Wie muss ein Rechteck liegen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird? Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?

14.09.2008, 17:31

JBeats7

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also ich habe jetzt mal eine randwertuntersuchung gemacht..und so versucht auf A zu kommen.. -> A=2u*f(u)
hab da jetzt einen Tief und Hochpunkt heraus bekommen:

A''(3)=-12 <0 HP
A''(-3)=12 >0 TP

was ich damit jetzt machen soll, ist mir ein rätsel

14.09.2008, 17:32

Musti

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RE: Bestimmung der Funktionsgleichung
Schön ist auch wenn man einen Graph hat, der einem das Nachdenken leichter macht.

Jetzt überleg dir wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet.

14.09.2008, 17:40

JBeats7

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ja A=a*b

wie bekomme ich aber die punkte auf der parabel heraus?

14.09.2008, 17:47

Musti

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Das wichtige ist, dass du dir klarmachen musst was a und b überhaupt ist.
Du kennst die Punkte nicht wirklich du weißt nur dass die eine Länge auf der x und die andere auf der y-Achse ist.
Da die Funktion y-Achsensymmetrisch ist, wäre z.B $\begin{eqnarray*} a=2x \end{eqnarray*}$ .
Jetzt überleg dir mal was b sein könnte.

14.09.2008, 18:48

JBeats7

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ja es muss dann was zwischen 0 und 3 sein

14.09.2008, 19:00

Musti

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Ich hab doch eben geschrieben dass du die Punkte nicht wirklich kennst, aber du weißt wo alle Punkte der Funktion liegen oder?

14.09.2008, 19:46

JBeats7

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haja ist ja klar, dass alle punkte auf der parabel liegen..

14.09.2008, 19:58

Musti

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Ja und wie ist die Parabel definiert?

14.09.2008, 20:19

JBeats7

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was meinst du mit definiert?

zweite ordnung? f(x)= ax^2+bx+x

14.09.2008, 20:28

Musti

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Noch genauer: Wir wissen, dass alle Punkte der Parabel auf der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$ liegen. Damit hätten wir unsere Seite b, nämlich f(x).
Jetzt müsstest du noch einsetzen und das Maximum berechnen.

14.09.2008, 21:53

gugelhupf

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meinst du, das x und y ausrechnen und damit a *b berechnen?

14.09.2008, 22:52

Musti

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Ich meine das jetzt für a und b eingesetzt werden soll und dann daraus dass Maximum in Abhängigkeit von x berechnet werden soll.

15.09.2008, 17:24

JBeats7

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ich kann mir vorstellen, wie das gemacht werden soll..aber was setze ich dann für a ein??

15.09.2008, 21:01

Musti

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Du musst schon die Beiträge vorher gründlich lesen, dann wüsstest du dass wir aufgrund der Eigenschaft, dass die Parabel y-Achsensymmetrisch ist a=2x bestimmt.

15.09.2008, 21:15

kikira

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RE: Bestimmung der Funktionsgleichung
Stells dir doch so vor:

Musti hat den Graphen der Parabel geplottet. Da zeichnest du jetzt achsenparallel das größtmögliche Rechteck ein.

Extremwertbeispiele funktionieren so:

Die Hauptbedingung ist die Formel dessen, was maximal werden soll.
Bei dir soll der Flächeninhalt maximal werden.
daher:

HB: A = a * b --> max.

Nun sollst du aus dieser Formel eine Funktion machen, damit du den maximalen (=Extremwert) finden kannst, indem du die Formel ableitest und 0 setzt.

Aber zuerst mal muss man daraus eine Funktion machen und das hast du dann geschafft, wenn auf der rechten Seite nur noch eine einzige Unbekannte ist. Entweder nur a oder nur b.

Deswegen brauchst du nun eine Nebenbedingung - eine Formel, aus der du dir a oder b ausdrücken kannst und dazu schaust jetzt wieder deine Skizze an.

Da du ja die Parabelgleichung hast und somit jeden Punkt, der auf der Parabel oben liegt, suchst jetzt im 1. Quadranten einen gemeinsamen Punkt von Parabel und Rechteck.

Nun drückst du dir die Koordinaten dieses Punktes durch a und b aus.

Die x-Koordinate des Punktes ist a/2. Was ist nun die y-Koordinate?
Und das setzt du in die Parabelgleichung ein und drückst dir a oder b aus.

Dann in die HB einsetzen, dann hast eine Funktion draus gemacht und kannst die 1. Ableitung machen und 0 setzen und hast somit die Länge (od. Breite), die man braucht, damit das Rechteck maximalen Flächeninhalt hat.

lg, kiki

16.09.2008, 15:09

JBeats7

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ok, also ich hoffe ich habe jetzt alles richtig verstanden..hier meine rechnung:

b-> f(x)
a-> 2x

A= 2x*(1/3x^2+3)
2/3^2=-6

-> ableitung: 2x^2+6=0

bekomme ich dann -1,7 und +1,7 heraus?

16.09.2008, 17:16

Musti

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$\begin{eqnarray*} A(x)=2x\cdot (\frac{1}{3}x^2+3)=\frac{2}{3}x^3+6x \end{eqnarray*}$

Deine Ableitung ist richtig:

$\begin{eqnarray*} A'(x)=2x^2+6 \end{eqnarray*}$

Du hast die notwendige Bedingung angewendet und deine möglichen Extremwerte sind auch korrekt.

Weißt du wie du berechnest welcher x-Wert der richtige ist?

16.09.2008, 20:18

JBeats7

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ich weiß jetzt nicht, wie ich weiter verfahren soll..
muss ich die Ableitung = 0 setzen?
wenn das dann so stimmt, dannhab ich ja schon mal die länge auf der x-achse (also+1,7 und -1,7).
wenn ich so alles weiterrechne, komme ich auf einen Flächeninhalt von ca. 6,8cm^2

(-> länge=2*1,7 ; Höhe=2)

17.09.2008, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Noch genauer: Wir wissen, dass alle Punkte der Parabel auf der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$ liegen. Damit hätten wir unsere Seite b, nämlich f(x).

Schade nur, daß es eigentlich um $\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$ geht. unglücklich

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} A(x)=2x\cdot (\frac{1}{3}x^2+3)=\frac{2}{3}x^3+6x \end{eqnarray*}$

Deine Ableitung ist richtig:

$\begin{eqnarray*} A'(x)=2x^2+6 \end{eqnarray*}$

Nach Korrektur des Vorzeichenfehlers haben wir $\begin{eqnarray*} A'(x) = -2x^2+6 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von JBeats7
muss ich die Ableitung = 0 setzen?

Ja.

Zitat:

Original von JBeats7
wenn das dann so stimmt, dannhab ich ja schon mal die länge auf der x-achse (also+1,7 und -1,7).

Dir hätte zumindest auffallen sollen, daß die Gleichung 2x² + 6 = 0 keine reellen Lösungen hat. Die Lösungen von -2x² + 6 = 0 sind $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und nicht +/- 1,7. Da im Grunde nur positive Lösungen in Frage kommen, fällt eine Lösung raus. Ob da wirklich ein Extremum ist, müßtest du noch mit der 2. Ableitung untersuchen.

EDIT: Und was das mit dem Titel "Bestimmung der Funktionsgleichung" zu tun hat, ist mir nicht so ganz klar. Habe das mal geändert.

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