Logarithmengleichungen

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vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmengleichungen
Hallo erstmal,
habe hier Probleme die Zusammenhänge von Logarithmengleichungen zu verstehen. Wie gehe ich z.B. an die folgende Aufgabe heran:



EDIT:Also nach x auflösen natürlich...
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Die Gleichung ist doch schon nach x aufgelöst. Oder hast Du irgendwo die Variable vergessen?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Also klar, ist natürlich aufgelöst, sorry. Eigentlich lautet die Aufgabenstellung: Berechnen sie x ohne Benutzung eines Taschenrechners.
Shr522 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke du meinst, wie du ohne Taschenrechner auf das Ergebnis kommst.
Klassisches Beispiel:
und ln bedeuten beim Potenzieren eine Umkehroperation, da ja ln eine Logarithmierung zur Basis e ist. In deinem Beispiel ist log aufgeführt, dessen Basis die 10 ist.
Schritt zwei damit fertig, aber Schritt eins noch nicht.
Es gilt:


Angewendet auf deinen Fall folgt:
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn nun beim vorletzten Schritt die 10 hin?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ Shr522:

Keine Komplettlösungen, das ist nicht Sinn der Sache! unglücklich
 
 
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung habe ich ja schon, was mir fehlt ist der Weg.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, Shr522 hat den entscheidenden Schritt eigentlich schon hingeschrieben.

Was ist



?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung. Wenn ich es wüsste hätte sich meine Frage erübrigt.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

und sind ja Umkehrfunktionen voneinander.

Jetzt beachte die folgende Beziehung zwischen einer Funktion f und der Umkehrfunktion f^(-1):



und



(Wenn f eine Zahl x auf f(x) abbildet und man dann auf f(x) die Umkehrfunktion anwendet, landet man wieder bei x)



Kannst Du die Gleichungen auf Logarithmus- und Exponentialfunktionen übertragen?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

soweit ich weiß gibt es so etwas wie eine Umkehrfunktion nicht, da:

wenn

und man die Wurzel zieht




ergeben sich 2y-Werte je X Wert -> Umkehrfunktion ist keine Funktion.

Gibt es einen anderen Weg um das zu verstehen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, dass manche Funktionen nicht umkehrbar sind, bedeutet doch nicht, dass es überhaupt keine umkehrbaren Funktionen gibt. verwirrt

Ich verstehe Deinen Einwand nicht ganz. Also jede Exponentialfunktion mit einer von 1 verschiedenen Basis a ist umkehrbar -- und die Umkehrfunktion nennt man Logarithmusfunktion zur Basis a.



Wie habt Ihr denn Logarithmen definiert?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das etwa keine Exponentialgleichung?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist eine Potenzfunktion. Bei Exponentialfunktionen steht das Argument im Exponenten.

// Also Exponentialfunktionen haben die Form



(mit festem a)
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, mit der Umkehrfunktion komme ich so nicht weiter. Oben in meiner Aufgabe ist das Argument auch nicht im Exponenten, warum komme ich mit dem Verschwinden der 10 nicht klar? Was steckt dahinter?

EDIT:
ist das Ergebnis nicht das Gleiche wie im letzten Post?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Bin übrigens FOS Schüler, die Realschulzeit ist schon eine Weile her. K.A. ob und wie wir damals Logarithmen hergeleitet haben.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogelscheuche
Bin übrigens FOS Schüler, die Realschulzeit ist schon eine Weile her. K.A. ob und wie wir damals Logarithmen hergeleitet haben.



Genauso wie alle es gelernt haben!

Das ist absolutes Chaos was in den Beiträgen zusammen gewürfel wurde. Wenn es dir nix aus macht , dann bitte eine saubere Frage stellen und nicht immer diese hin und her hüpfen!
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ vogelscheuche:

Also die Umformung hängt nun mal damit zusammen, dass sich Funktion und Umkehrfunktion "neutralisieren".

Vielleicht kann man es auch anders begründen, aber dann müsstest Du sagen, was Du unter einem Logarithmus verstehst (keine Herleitung oder so, einfach nur die Definition)
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich es verstanden habe ist das Logarithmiren ein Ausfindigmachen der unbekannten Potenz zu einer Basis (hier 10). Ich kenne Quasi das Ergebnis, aber nicht den Exponenten. Bei 2^x=8 fällt mir das Logarithmieren im Kopf auch nicht schwer. Auch kenne ich die gängigen Rechenregeln für Logarithmen. Nur die Zusammenhänge wie z.B. das mit der 10 sind mir noch nicht ganz klar. warum verschwindet Sie?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Die (einzige) Lösung der Gleichung



nennt man Logarithmus von b zur Basis a.


Also kann man den Logarithmus so definieren:



OK?
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

ja
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt setze a^x für b ein:

vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

=x ? Aber was hat das mit der Aufgabe zu tun? Ich sehe einfach keinen Zusammenhang. Hammer
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das war die falsche Richtung. Big Laugh



Also so herum:



Und jetzt setze für x wieder loga(b) ein.
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Freude Habs grade endlich gerafft. War etwas verwirrend, dass das Ergebnis da schon steht. Hammer
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Und was hast Du raus?

Merke Dir auch den Satz



Den braucht man ebenfalls häufiger! smile
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, ich habe das halt nicht ganz gerafft gehabt:

a^loga(b)= b
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Daraus kann man übrigens ablesen, dass das Bilden von Potenzen zu einer festen Basis a und das Logarithmieren zur Basis a Umkehroperationen voneinander sind. (hatte Shr522 am Anfang ja geschrieben)



Also die obige Gleichung ist im Grund der wichtigste Satz für die Aufgabe. Dann muss man nur noch den Faktor vor dem Logarithmus in den Numerus ziehen.

vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

=logb(c^a) Wie kann ich mit dem Formeleditor Buchstaben tiefstellen? (Hier das b)
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Mit _

Du musst die Formeln übrigens in die latex-Klammern setzen:

code:
1:
[latex] ... [/latex]




Aber Dein Ergebnis ist natürlich richtig. Du musst es nur noch bei der Aufgabe anwenden. smile
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogelscheuche
Wie kann ich mit dem Formeleditor Buchstaben tiefstellen? (Hier das b)


x_{...}
vogelscheuche Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Aber Dein Ergebnis ist natürlich richtig. Du musst es nur noch bei der Aufgabe anwenden. smile

Hab ich ja schon angewendet. Bin jetzt drei Aufgaben weiter:



X=2
Freude
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre nett, wenn Du Deine Umformungen nochmal kompakt aufschreiben würdest für diejenigen, die den Thread über die Suchfunktion finden.



Die zweite Gleichung lautet



?

//edit:

Wohl eher

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