Quotientenraum

17.06.2006, 16:14

zeusosc

Quotientenraum

$\begin{eqnarray*} \text{Also ich habe eine hausaufgabe die sich mit ner sequenz sowie Kern und bild etc beschäftigt,...} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ könntet ihr mir dabei helfen ?? hier die aufgabe:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }V:=\left\{p:\mathbb R\rightarrow\mathbb R|p\left(x\right)=a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + a_3 x^3 \text{ mit }a_0 ,...,a_3 \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{die Menge aller reellen Polynomfunktionen von Grad höchstens 3. Die Abbildung} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F:V\rightarrow\mathbb R^3,p\rightarrow\left(\begin{array}{c}p(0)\\p(1)\\p(2)\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ist linear. Bestimme die Basen von Im(F), Ker(F) und Koker(F).} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Also ich weiss das von }\mathbb R \stackrel{p} {\rightarrow} V \stackrel{F} {\rightarrow} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{,also ist Ker(F)=Im(p),ich weiß auch das Koker(F) die Basis von }\mathbb R^3/ V\text{ ist.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{aber wie gehts weiter???} \end{eqnarray*}$
traurig

17.06.2006, 16:22

JochenX

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ich weiß nicht, was du mit dem Bild (ich denke "im" steht für das Bild) von dieser Abbildung p willst.
Das ist keine lineare Abbildung, dass ist Einsetzen in ein Polynom.
Nimm das Polynom p:=X^2 und setze ein: 2 und 2+2; p(2)+p(2) <> p(2+2) NICHT LINEAR, also ist das Bild auch nicht .... egal.

Kern von F sind alle Elemente, die auf das Nullelement geschickt werden müssen, da gibts doch gar nicht sooo viele.
Was muss denn für ein Polynom p(X) gelten, damit p(0)=P(1)=p(2)=0 gilt?

Zum Bild: schau mal, ob du da nicht den ganzen IR^3 wiederfindest.
Die erste Komponente ist z.B. mit a3 frei wählbar.

Was ist denn der Kokern?

Offtopic: bitte verwende NORMALE Schrift, die ist besser lesbar.

17.06.2006, 16:34

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{nach def ist Koker(F)}=\mathbb R^3 /V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{wenn }\left(v_1 ,...,v_k\right)\text{ die Basis von V ist und } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(v_1,...,vk,...,vr\right)\text{ die Basis von }\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ dann ist die Basis von }\mathbb R^3 \text{/} V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(v_{k+1} + V,..., v_{r} + V\right) \end{eqnarray*}$

17.06.2006, 16:37

JochenX

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allerdings sind V und IR^3 hier unterschiedliche Strukturen, insbesondere ist V kein Teilraum von IR^3, damit schlägt deine Definition fehl.

Ist es nicht eher IR^3/F(V) oder sowas?

17.06.2006, 16:54

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{V ist ein VR... also passt die def... } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\text{ ist nicht linear also auch kein Isomorphismus daher ist }Im(p)\neq Ker(F)\text{,..} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ wat aber auch klar ist das } dim(Ker(F))=1, dim(Im(F))=3, dim(Koker(F))=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{denn: }dimV+dim\mathbb R^3 / V=dim\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

17.06.2006, 16:58

JochenX

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Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{V ist ein VR... also passt die def... } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\text{ ist nicht linear also auch kein Isomorphismus daher ist }Im(p)\neq Ker(F)\text{,..} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ wat aber auch klar ist das } dim(Ker(F))=1, dim(Ker(F))=3, dim(Koker(F))=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{denn: }dimV+dim\mathbb R^3 / V=dim\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

ich sage zur Rechnung erstmal gar nix Tipps stehen oben

V ist Vektorraum, aber kein UNTERRAUM, lies genau
ich habe bei Wikipedia nachgelesen und meine Vermutung war richtig, du musst nach dem Bild faktorisieren.

Nach deiner Milchmädchenrechnung gilt übrigens mit dim(V)=4
4+?=3 und somit ist deine Kokerndimension -1

edit: und das mit der Schrift war eigentlich nicht nur so gesagt

17.06.2006, 17:03

zeusosc

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die dimension von V ist 1!! siehe def der aufgabenstellung,... die dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist bekanntlicher massen 3... wie kommst du darauf das der Funktionenvektorraum 4 dim hat??? das ist ein skalar....

17.06.2006, 17:27

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{Also die Lösungsmenge von Im(F) habe ich schon mal} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Lös(Im(F))}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\2\\-3\\1\\\end{array}\right)\cdot\mu\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{dann währ dim(Lös(Im(F)))=4, ok ich gugs mir noch ma allet an} \end{eqnarray*}$

17.06.2006, 17:52

JochenX

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Zitat:

Original von zeusosc
die dimension von V ist 1!! siehe def der aufgabenstellung,... die dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist bekanntlicher massen 3... wie kommst du darauf das der Funktionenvektorraum 4 dim hat??? das ist ein skalar....

ich weiß nicht, WAS ein Skalar sein soll, aber {1,X,X^2,X^3} bildet eindeutig eine Basis von V, dim(V)=4
dieser Funktionenraum ist ganz sicher kein Skalar, was immer du damit wieder sagen willst.
vielleicht verstehst du das auch eher: a0, a1, a2, a3 wählbar, wieviel Freiheitsgrade?

was Lös(Im(..)) sein soll (warum "Lösunsmenge"?) weiß ich auch nicht

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