orthogonale matrixen

26.05.2004, 12:10	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale matrixen Hallo, ich habe folgendes Problem: Im R^3 mit Standardskalarprodukt und einer orthogonalen Matrix T gilt folgende Regel: T(a x b) = det T (Ta x Tb) wobei (. x .) das Vektorprodukt bezeichnet. Wie kann ich diese Aussage beweisen?
26.05.2004, 12:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beweis hängt davon ab, was du an Vorkenntnissen mitbringst. Wie wurde z.B. "orthogonale Matrix" definiert, wie wurde das Vektorprodukt eingeführt?
26.05.2004, 13:07	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
unter orthogonale matrix wird die standarddefinition verstanden, d.h. T'T = E bzw. T'=T^(-1) mit det T = +/- 1, wobei T' die transponierte und T^(-1) die inverse bezeichnet. Die orthogonale matrix ist insbesondere längen- u. winkelerhaltend. Vektorprodukt ist auch die standarddefinition für den R^3 (ist auch meistens nur im R^3 zu definiert) wird häufig auch als kreuzprodukt bezeichnet. die eigenschaften sind (a x b) orthogonal zu a bzw. b, d.h. <(a x b),a>=0=<(a x b),b>.
26.05.2004, 13:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
a,b seien Vektoren (in Spaltenschreibweise). Dann gilt doch: $\begin{align} \<T(a \times b),\ Ta\> \ = \ (Ta)^'T(a \times b) \ = \ a^'T^'T(a \times b) \ = \ a^'E(a \times b) \end{align}$ $\begin{align} = \ a^'(a \times b) \ = \ \<a \times b ,\ a \> \ = \ 0 \end{align}$ Analog geht das mit Tb. Und hieraus kannst du eine erste Folgerung ziehen?
26.05.2004, 13:42	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für den Hinweis. leider kann ich damit sonderlich viel anfangen, da ich bis zu diesem punkt auch schon einmal gekommen bin, dann aber nicht weiter gekommen bin. mir fehlt noch die verbindung zum nächsten schritt.
26.05.2004, 14:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein Vektor auf zwei anderen Vektoren senkrecht steht, dann muß er ein skalares Vielfaches von deren Kreuzprodukt sein.
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26.05.2004, 14:55	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
es tut mir leid für das nochmalige nachfragen. wieso "muß er ein skalares Vielfaches von deren Kreuzprodukt sein."
26.05.2004, 15:06	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf den beiden Vektoren, das ist klar, oder? Nun stell dir mal im R³ 2 linear unabhängige Vektoren vor und überleg, welche Möglichkeiten es gibt, dass ein ditte Vektor auf beiden senkrecht steht. Gruß vom Ben
26.05.2004, 15:17	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du Student bist, dann sagt dir vielleicht auch folgendes etwas: (Seien a und b linear unabhaengig.) Die Menge U aller Vektoren, die sowohl senkrecht auf a als auch auf b stehen, bilden einen Untervektorraum. Dieser ist das orthogonale Komplement von der Ebene, die von a und b aufgespannt wird. Aus Dimensionsgruenden muss U eindimensional sein, also wird er von (a x b) erzeugt.

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