Ausklammern und Kürzen von Brüchen

15.09.2008, 08:22

Tati86

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Ausklammern und Kürzen von Brüchen

Hallo ich habe ein sehr dringendes Problem. Ich bin jetzt auf einem Berufskolleg in der 11 Klasse und wir nehmen das Thema nur kurz durch. Heute hätten wir Mathe und ich bin krank. :-(

Ich komm da einfach nicht weiter. Wie klammer ich bei Brüchen aus und wann kürze ich?

Beispiel:

(4a-1)²/16a²-1

ich habe das so gerechnet:

php:
1:	16a²+8a-1 / 16a²-1

= 8a-1 / -1

das ist aber FALSCH!!! warum??? rauskommen soll: 4a-1 / 4a+1

oder hier:

php:
1:	21abc / 34xyz * 35z / 4n * (-68y / 49bc)

= - 21abc*35z*68x / 34xyz*4n*49bc

da ist aber auch irgendwas falsch weil rauskommen soll: - 15a / 2xn

so ich schreib noch eine, von all denen hab ich mehrere bei denen ich nicht weiter komme. :-(

php:
1:	- (3a+n)(b-c) / c-b

= -(3a+n)(b-c) / c-b

so ich weiß kann man dann noch weiter ausrechen so wie bei den anderen Aufgaben, hatte ich auch, aber kommt das falsche raus. hier soll rauskommen: 3a+n

15.09.2008, 09:03

Gargy

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RE: Ausklammern und Kürzen von Brüchen

Zitat:

Original von Tati86
(4a-1)²/16a²-1

ich habe das so gerechnet:

php:
1:	16a²+8a-1 / 16a²-1

= 8a-1 / -1

das ist aber FALSCH!!! warum??? rauskommen soll: 4a-1 / 4a+1

Hast du da gerade aus einer Summer gekürzt? Ohoh

Du zerlegst einfach 16a²-1 in (4a-1)(4a+1) , dann steht da

$\begin{eqnarray*} \frac{(4a-1)(4a-1)}{(4a-1)(4a+1)} \end{eqnarray*}$

Einmal kürzen ergibt das Ergebnis.

Zitat:

Original von Tati86

php:
1:	21abc / 34xyz * 35z / 4n * (-68y / 49bc)

= - 21abc*35z*68x / 34xyz*4n*49bc

da ist aber auch irgendwas falsch weil rauskommen soll: - 15a / 2xn

Hm, schreib dir das mal so auf

$\begin{eqnarray*} \frac{- 21abc\cdot35z\cdot68y}{34xyz\cdot4n\cdot49bc} \end{eqnarray*}$

Wenn du alles rauskürzt überm Bruchstrich alles wegstreichst, was drunter auch steht, kommst du genau auf das Ergebnis.

Zitat:

Original von Tati86

php:
1:	- (3a+n)(b-c) / c-b

= -(3a+n)(b-c) / c-b

Hier kannst du z.B. das Minus einfach in die eine Klammer ziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3a+n)(-b-(-c))}{(c-b)}=\frac{(3a+n)(-b+c)}{(c-b)}=\frac{(3a+n)(c-b)}{(c-b)} \end{eqnarray*}$

Und kannst du die Klammer mit (c-b) kürzen.

15.09.2008, 09:10

Tati86

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danke. :-)
ich versteh nur das letzte nicht. warum kann ich das minus in die klammer schreiben und wie weiß ich, wo ich das minus am besten reinsetzte? in der arbeit kann ich das ja nicht endlos lang probieren...

15.09.2008, 09:44

Tati86

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warum aus der summe gekürzt??? ich hab die 16a² gekürzt, das ist doch nicht die summe oder???

15.09.2008, 09:46

Gargy

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Also, da steht:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(3a+n) \cdot (b-c)}{(c-b)} \end{eqnarray*}$

Das ist das gleiche, wie wenn ich schreibe

$\begin{eqnarray*} (-1) \cdot \frac{(3a+n) \cdot (b-c)}{(c-b)}=\frac{(3a+n) \cdot \overbrace{(-1) \cdot(b-c)}^{*}}{(c-b)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt rechne ich nur den *-Teil

$\begin{eqnarray*} (-1) \cdot(b-c)=b \cdot (-1) - c \dot (-1)= -b +c=c-b \end{eqnarray*}$

Darauf zu kommen ist ein wenig Übungssache. Unter dem Bruchstrich steht ja (c-b), also musst du gucken, wie du das weg bekommst. Ein Minus vor der Klammer vertauscht die Vorzeichen der Variablen in der Klammer. Vielleicht kannst du dir das so merken.

edit: Doch, die 16a² sind Teil der Summe. Das kannst du nicht einfach kürzen.

15.09.2008, 09:47

Tati86

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noch eien frage. $\begin{eqnarray*} \frac{(4a-1)(4a-1)}{(4a-1)(4a+1)} \end{eqnarray*}$
da würde aber auf zähler 16a²-8a+1 müsste aber +8a stehn..?!

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15.09.2008, 09:49

Gargy

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Wieso?

15.09.2008, 10:46

kikira

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Also...man darf NUR aus Multiplikationen kürzen!

z.b.

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2}{a^2} \neq b^2 \end{eqnarray*}$

Und zwar darfst du deswegen hier nicht kürzen, weil im Zähler eine Addition steht. Auch bei Subtraktionen dürftest nicht kürzen.

Wenn aber stehen würde:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2*b^2}{a^2} = b^2 \end{eqnarray*}$

Und zwar hängt das mit dem Nenner zusammen, nämlich für welchen Ausdruck der Nenner gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{3+2}{2} \end{eqnarray*}$

dann MUSS man, wenn man den Bruch wieder trennen will, jedem einzelnen im Zähler den Nenner mitgeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$

Daher, hättest du einfach den 2-er gekürzt, dann hättest du dem 3-er im Zähler den Nenner weggenommen.
DESWEGEN darf man NIE aus der Summe kürzen.

Bei Mal-Rechnen sieht das ganz anders aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*2}{2} \end{eqnarray*}$

Da darf man nur EINEM im Zähler den Nenner mitgeben, wenn man den Bruch wieder trennen will:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{1} * \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$

Also darf man aus einer Multiplikation kürzen, weil der Nenner nur für einen Ausdruck im Zähler gilt.

Daher ist beim Kürzen oberstes Gebot: aus Additionen und Subtraktionen Multiplikationen zu machen.

Wie erreicht man das nun?

1. Entweder durch Herausheben, denn dadurch schafft man eine Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} \frac{4a^2b^4-2a^3b^2}{2b^2-a} = \frac{2a^2b^2*(2b^2-a)}{(2b^2-a)} = 2a^2b^2 \end{eqnarray*}$

Weil nun nur noch Multiplikationen stehen und nun kann man eine komplett gleiche Klammer gegen die andere kürzen.

2. mithilfe der binomischen Formeln:

$\begin{eqnarray*} (a + b)^2 = (a + b) * (a + b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - b)^2 = (a - b) * (a - b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 + b^3 = (a + b) * (a^2 - ab + b^2) \end{eqnarray*}$

usw..

Man kann auch ein Minus herausheben und zwar so:

$\begin{eqnarray*} \frac{a - b}{b - a} \end{eqnarray*}$

Da könnte man doch toll kürzen, wenn der Zähler komplett gleich wäre wie der Nenner. Leider sind aber die Vorzeichen vertauscht. Nun hebt man sich oben oder unten - wie du magst, ein Minus heraus. Wenn Minus vor der Klammer steht, ändern sich die Vorzeichen in der Klammer:

$\begin{eqnarray*} \frac{-(+b - a)}{(+b - a)} = \frac{-1}{+1} = - 1 \end{eqnarray*}$

Denn nun sind beide Klammern komplett gleich und man darf Klammer gegen Klammer kürzen.

lg, kiki

15.09.2008, 11:22

Tati86

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OK. und wenn ein minus vor der klammer steht, aber ich es in der klammer bräuchte kann ich das da einfach rein setzen?
und das hab ich immernoch nicht vertsanden:
noch eien frage. $\begin{eqnarray*} \frac{(4a-1)(4a-1)}{(4a-1)(4a+1)} \end{eqnarray*}$
da würde aber auf zähler 16a²-8a+1 müsste aber +8a stehn..?!

da kommt bei mir immer -8a raus... also -4a-4a ist doch -8a oder nicht??? aber müsste ja +8a stehen...?!

danke. smile

smile

15.09.2008, 11:59

Gargy

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Na ja, einfach reinsetzen - klingt bisschen komisch. Aber du kannst die Klammer mit (-1) multiplizieren, wie wir das oben gemacht haben. Das ist dann richtig.

Zu deiner anderen Frage: Ich verstehe gar nicht, wozu du das brauchst. Um auf die Lösung zu kommen, ist es ungünstig, die Klammer auszurechnen. Lass es so stehen und kürze die gleichen Klammern!!

Aber du hast recht, es steht an der Stelle -8a... Wie kommst du auf +8a? Warum muss das da hinkommen?

15.09.2008, 12:44

Gargy

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Jetzt weiß ich, was du meinst:

Berechne

$\begin{eqnarray*} (4a-1)² \end{eqnarray*}$

und berechne dann

$\begin{eqnarray*} (4a-1)(4a-1) \end{eqnarray*}$

Erklärung:
$\begin{eqnarray*} 3\cdot3=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3²=9 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 18:24

Tati86

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ach glaub ich bin grad echt doof... :-(
es soll doch auf dem zähler 16a²+8a-1 stehen, aber bei deinen klammern würde da ein -8a rauskommen. bin ich jetzt zu blöd? raff das grad echt nicht... :-(
vielleicht weil ich krank bin?! ahh das nervt mich jetzt echt.....

(4a-1)(4a-1) ist doch nicht das gleiche wie der 2 binom oder???

15.09.2008, 18:45

Gargy

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RE: Ausklammern und Kürzen von Brüchen
Öhm, ich dachte, die Aufgabe lautet

Zitat:

Original von Tati86
Beispiel:

(4a-1)²/16a²-1

Du hast dann gerechnet:

Zitat:

Original von Tati86

php:
1:	16a²+8a-1 / 16a²-1

= 8a-1 / -1

Demnach hast du die Klammer ausgerechnet (falsch übrigens - aber du hast ja auch Schnupfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

), aber gegeben war die quadratische Klammer... so hatte ich das zumindest verstanden. Und damit klappt's ja auch ganz vortrefflich.

Und (4a-1)(4a-1) ist das gleiche wie (4a-1)² und ergibt ausgeklammert 16a²-8a+1. Ich denke, dass heißt 2. Binomische Formel... ja doch.

16.09.2008, 11:11

Tati86

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aber die binomische formel wäre doch bei (4a-1)²= 16a²+8a-1
und bei (4a-1)(4a-1) würde was andere rauskommen und zwar: 16a-8a+1 und das ist a was ganz anderes was da rauskommt...?!

16.09.2008, 11:12

Tati86

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ach mist. ist beides gleich. HEUL sorry...

16.09.2008, 11:22

Musti

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Nein die zweite binomische Formel lautet: $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
Wenn du das auf dein Beispiel überträgst kommt da schon $\begin{eqnarray*} (4a-1)^2=16a^2-8a+1 \end{eqnarray*}$ raus.

Wo hast du denn jetzt noch ein Problem? Das ist hier alles ein wenig unübersichtlich.

16.09.2008, 12:37

Gargy

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Nix ist unübersichtlich. Tati86 hat den Fehler schon gefunden.

16.09.2008, 15:37

Tati86

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ja. ich werd mir das gleich alles nochmal angucken. wenn ich noch probleme hab meld ich mich nochmal.

vilen dank an euch. :-)

noch eine frage, wann ist eine summe eine summe?
gilt das was bei der aufgabe im zähler steht als summe weil es aus der binomischen formel ist. also dass es die ,,ausgerechnete'' binomische formel ist?!
weil ihr meintet ja, ich solle nicht die 16a² kürzen weil summe!

16.09.2008, 16:15

Gargy

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Hm, eine Summe ist eine Summe wenn ein Plus oder Minus drin steht verwirrt

verwirrt

Lies dir doch nochmal den Beitrag von kikira auf der ersten Seite durch, da ist's schön erklärt.

16.09.2008, 17:07

Tati86

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ah ok verstnaden. dank.

aber noch eine sehr wichtige frage, meine freundin und ich verzweifeln gerade an der augabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+a+x+1}{a²-1} \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 17:21

Q-fLaDeN

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Im Nenner steht eine binomische Formel, im Zähler kannst du ausklammern, zwei mal.

16.09.2008, 17:26

Tati86

Auf diesen Beitrag antworten »

da soll x+1 / a-1 rauskommen... sorry hatte ich vergessen zu schreiben

16.09.2008, 17:28

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig. Und darauf kommst du durch meine angegebenen Schritte Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2008, 17:30

Tati86

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wir haben diese schritte aber noch nie gesehen ode rgelehrt. müsste also auch ohne gehn?! es geht nur ums ausklammern und kürzen.

16.09.2008, 17:37

Musti

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$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a+b)\cdot (a-b) \end{eqnarray*}$ hast du noch nie gesehen?
Das kann eigentlich nicht sein. unglücklich

unglücklich

16.09.2008, 17:49

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Tati86
es geht nur ums ausklammern und kürzen.

Nur weil ihr z. Z. ausklammert und kürzt heißt das noch lange nicht, dass andere Rechenoperationen unter den Tisch fallen müssen. Außerdem ist das eig. nichts anderes als ausklammern.

16.09.2008, 17:49

Tati86

Auf diesen Beitrag antworten »

das erste macht mir ehrlich gesagt angst... hab das glaub noch nie gesehn...
meien freundin auch nicht...

16.09.2008, 17:50

Tati86

Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh bich bin so irritiert.,.. ahhh und ähmm ist das beides das gleiche???

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a+b)\cdot (a-b) \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 17:52

Tati86

Auf diesen Beitrag antworten »

aber selbst wenn das das gleiche ist, wieso ist dann diese lange formel da mit e=lim...?!!

das verstehen wir nicht. haben wir noch nie gemacht

16.09.2008, 17:56

Hanna10

Auf diesen Beitrag antworten »

hi bin die freundin von tati
worum sollen wirdas so rechnen wenn unsere lehrerin das so nicht haben will
auserdem ist diese foprmel zu komplizirt

16.09.2008, 17:59

Hanna10

Auf diesen Beitrag antworten »

hi bin die freundin von tati
worum sollen wirdas so rechnen wenn unsere lehrerin das so nicht haben will
auserdem ist diese formel zu kompliziert

16.09.2008, 18:22

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Formel für e ist meine Signatur, die hat nichts mit der Aufgabe zu tun Big Laugh

Big Laugh

Tut mir Leid, falls das so rübergekommen ist.

Ok, ich zeigs euch mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+a+x+1}{a²-1}=\frac{ax+a+x+1}{a²-1^2}=\frac{ax+a+x+1}{\underbrace{(a+1)(a-1)}_{\text{3. bin. Formel}}} = \frac{x(a+1)+(a+1)}{(a+1)(a-1)} \end{eqnarray*}$

Schafft ihr den Rest jetzt selbst und könnt ihr die Schritte nachvollziehen?

Zitat:

Original von Tati86
...ahhh und ähmm ist das beides das gleiche???

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a+b)\cdot (a-b) \end{eqnarray*}$

Ja, deshalb steht ja das = dazwischen. Ihr kennt doch die binomischen Formeln?

16.09.2008, 19:10

Tati86

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so weit war ich vorhin auch schonmal. aber ich hab keine ahnung wie ich das bis x+1 / a-1 wegkürzen soll?! das soll das ergebnis sein!

16.09.2008, 19:16

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du kannst den Term a+1 im Zähler ausklammern, denn er steht ja als Faktor in jedem Summanden.

Danach nur noch kürzen, und Du erhältst genau das Ergebnis.

//

$\begin{eqnarray*} \frac{x\overbrace{(a+1)}+\overbrace{(a+1)}}{(a+1)(a-1)} \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 19:34

Q-fLaDeN

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Alternativ den Bruch auseinander ziehen, aber ausklammern ist kürzer und eleganter.

$\begin{eqnarray*} \frac{x(a+1)+(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{x(a+1)}{(a+1)(a-1)}+\frac{a+1}{(a+1)(a-1)} \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 20:01

Tati86

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ahhhh ich versteh gar nix mehr. wo ist denn das x hin???

16.09.2008, 20:03

Jacques

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Welchen Term meinst Du denn jetzt? unglücklich

unglücklich

16.09.2008, 20:19

Q-fLaDeN

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verwirrt

Wenn du die x nicht siehst, musst du wohl nur die Augen ein wenig weiter öffnen smile

smile

16.09.2008, 21:42

Tati86

Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss zugeben ich versteh nix mehr. ich versteh nicht mal die gliederung :-(

$\begin{eqnarray*} \frac{x(a+1)+(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{x(a+1)}{(a+1)(a-1)}+\frac{a+1}{(a+1)(a-1)} \end{eqnarray*}$

warum hab ich jetzt 2 nenner???

16.09.2008, 22:02

Jacques

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Es sind natürlich nicht zwei Nenner, sondern zwei Brüche.

Du kennst sicher die Regel

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{w} + \frac{v}{w} = \frac{u + v}{w} \end{eqnarray*}$

Diese kann man „umkehren“:

$\begin{eqnarray*} \frac{u + v}{w} = \frac{u}{w} + \frac{v}{w} \end{eqnarray*}$

Nichts anderes hat Q-fLaDeN gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Falls es Du mit der Anwendung noch Schwierigkeiten hast:

Setze

$\begin{eqnarray*} u = x(a + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = a + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = (a + 1)(a - 1) \end{eqnarray*}$

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