Integration über Normalbereiche

18.06.2006, 00:25

Enthalpus-Laplacus

Integration über Normalbereiche

Hallo Zusammen,

hab hier ein kleines Problem mit dem Verständnis über die Normalbereiche.
Also:

$\begin{eqnarray*} \int_G\int(x+2y)dxdy \end{eqnarray*}$

wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} G=(x,y):2 \leq x\leq 3, \, x \leq y \leq x^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int_G\int xydxdy \end{eqnarray*}$

wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} G=(x,y): 0 \leq x,\, 0 \leq y, \, x^2+y^2 \leq 2, \, y\leq x^2 \end{eqnarray*}$

wobei die geschweiften Klammern { } nicht angezeigten werden (?).

Also zur ersten Aufgabe hab ich mir folgendes gedacht:

weil doch y>x gilt und x mindestens x=2 und maximal x=3 ist, gilt doch das:
y > 2
y < 4
(mit gleichheitszeichen)

also wäre der Normalbereich ein Rechteck in der x,y-Eben.

zur zweiten Aufgabe fällt mir da aber schon mal nix ein...
Höhstens das viel. y<2-y^2 ist, und das der Normalbereich wahrscheinlich einen Kreis oder Ellipse darstellt...

Gibts da irgendwie einen Trick wie man sich die Integrationsbereiche herleitet?

18.06.2006, 01:02

Abakus

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RE: Integration über Normalbereiche
Die geschweiften Klammern kriegst du mit: \{ oder \}.

Die Normalbereiche hier sind kurvig berandet. Hier eine Zeichnung zum ersten Teil:

Der Normalbereich liegt hier zwischen der roten und grünen Kurve, d.h. die y-Begrenzung ist jeweils von x abhängig, wobei zulässige x-Werte zwischen 2 und 3 liegen. (D.h. integriert wird von x bis $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ über y (inneres Integral) und dann von 2 bis 3 über x (äußeres Integral).)

Der Trick ist die Abhängigkeiten zwischen den Variablen zu sehen und eine Zeichnung/Skizze hilft viel. Den zweiten Teil versuche erstmal selbst.

Grüße Abakus smile

18.06.2006, 05:08

Enthalpus-Laplacus

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Danke für die Antwort Abakus!

Deine Tips haben mich um Lichtjahre weitergebracht.

Zu der zweiten Aufgabe:

Ich hoffe das meine Überlegung richtig ist.
Die Inegrationsbereiche sind wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 0\leq y \leq x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq\sqrt{2-y^2} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das dass richtig ist. smile

Hab aber noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} G=\{ (x,y):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\leq 1\} \end{eqnarray*}$

für diesen Normalbereich wären dann die jeweiligen Nullstellen der Integrationsbereich, also:
x=0:
--> $\begin{eqnarray*} -2 < x < +2 \end{eqnarray*}$

und für y:
--> $\begin{eqnarray*} -3\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\leq y \leq +3\sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \end{eqnarray*}$

Richtig?

18.06.2006, 11:13

Abakus

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Zunächst noch zur ersten Aufgabe: am Besten schreibst du das entstehende Integral mit Integrationsgrenzen einmal hin und berechnest es. Insbesondere: was ist der y-Schnitt (bzw. die Projektion des Integrationsbereiches längs der y-Achse) ?

Zitat:

Original von Enthalpus-Laplacus
Zu der zweiten Aufgabe:

Ich hoffe das meine Überlegung richtig ist.
Die Inegrationsbereiche sind wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 0\leq y \leq x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq\sqrt{2-y^2} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das dass richtig ist. smile

Das sind erstmal 2 Ungleichungsketten, aber noch keine Mengen. Integrationsbereiche (bzw. genauer die betrachteten Schnitte) sind Mengen. Hier musst du deine Lösung noch präzisieren.

Zu beachten ist insbesondere ein Schnittpunkt. Hier hast du 2 Lösungsmöglichkeiten.

Zitat:

Macht Sinn, ja, bis auf die Formulierung. Funktionen haben Nullstellen, für Mengen ist der Begriff nicht klar. Auch hier: Schnitte und Integral angeben.

Grüße Abakus smile

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