Ist das hier eine Parabel oder Geradenfunktion?

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18.06.2006, 09:24

saruman!

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Ist das hier eine Parabel oder Geradenfunktion?

hi,

ich habe hier mal eine Frage die mich die Nacht über ein bisschen beschäftigt hatte.

Also, wenn es ja heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ dann haben wir ja eine gerade

wenn es heißt

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ dann haben wir eine Parabel.

Doch was haben wir wenn es heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$
oder

$\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ ?

haben wir in beiden Fällen eine Gerade? Ich wäre zumindest der Meinung ja. bin mir aber nicht so sicher. könntet ihr mal bitte was dazu sagen? Lehrer

18.06.2006, 09:52

tigerbine

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RE: Ist das hier eine Parabel oder Geradenfunktion?
Hast Du dir das Beispiel selbst ausgedacht?

Wir sollten viellleicht zunächst den Funktionsbegriff klären.

Also, was ist eine Funktion und von "wo" nach "wo" bildet sie ab?

Gruß Wink

18.06.2006, 09:58

saruman!

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Ja, ich habe mir das Beispiel selbst ausgedacht.

Ähm, und du fragtest, was eine Funktion ist? nun ja, dazu kann ich eigentlich nur sagen, dass eine Funktion die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen ausdrückt, oder?

aber was du nun damit meinst, von wo nach wo sie abbildet weiß ich jetzt nicht genau verwirrt

18.06.2006, 10:38

Frooke

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RE: Ist das hier eine Parabel oder Geradenfunktion?

Zitat:

Original von saruman!
$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ dann haben wir ja eine gerade

Zitat:

Original von saruman!
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ dann haben wir eine Parabel.

Zitat:

Original von saruman!
Doch was haben wir wenn es heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$
oder

$\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ist auch eine Gerade, es ist die identische Abbildung (wie oben!)

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto x \end{eqnarray*}$

ist eine Funktion, die folgende Zusweisungen durchführt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b)=b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\heartsuit)=\heartsuit \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\sharp)=\sharp \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x^7)=x^7 \end{eqnarray*}$

18.06.2006, 11:09

saruman!

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sowas in der Art wie Frooke da jetzt geschrieben hat habe ich mir auch gedacht.
danke das du meine idee bestättigt hast :-)

18.06.2006, 11:23

Lazarus

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RE: Ist das hier eine Parabel oder Geradenfunktion?

Zitat:

Original von saruman!
Doch was haben wir wenn es heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$
oder

$\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Nachdem Quadratzahlen von rellen Zahlen stets nichtnegativ sind, darf man die Wurzelziehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}&=&\sqrt{x^2}\\y&=&x \end{eqnarray*}$

Das was Frooke gesagt hat kann man auch Abkürzen:
Die Identische Abbildung kann man abkürzen durch:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{id_R}:\;\mathbb R\mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$

18.06.2006, 11:29

JochenX

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ich möchte dringendst von Schreibweisen wie $\begin{eqnarray*} f(x^2) \end{eqnarray*}$ abraten, insbeondere wenn die Funktion x als Variable hat.

Für eine Funktion g(t) kann man für t "x^2" einsetzen, wenn das irgendwas passendes aus dem Def-Bereich ist, man kann, aber auch hier würde ich es nicht tun.

In eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x+3 \end{eqnarray*}$ für x x^2 einzusetzen macht nicht so viel Sinn, am ehesten versteht man darunter die Kreation einer neuen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x^2)=2x^2+3=:h(x) \end{eqnarray*}$ nach x.

Eine Zuordnung der Form $\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ ist KEINE Funktion.
Und da blauäugig Wurzelzuziehen ist einfach falsch, auch wenn beide Seiten positiv sind! Dann darfst du das +- nicht vergessen, Lazarus!

18.06.2006, 11:31

Lazarus

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ja stimmt.
hab meinen kopf wohl noch im bett gelassen ...

18.06.2006, 13:10

Voessli

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$\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ ist keine eindeutige Funktion aber $\begin{eqnarray*} f(x^2)=x^2 \end{eqnarray*}$ drücht doch im Prinzip das selbe aus. Ich sehe keinen Unterschied

18.06.2006, 13:34

Frooke

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Nein!

$\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \Longleftrightarrow f^2(x)=x^2 \ne f(x^2)=x^2 \end{eqnarray*}$

EDIT: Wie Lazarus gesagt hat, drückt $\begin{eqnarray*} f(x^2)=x^2 \end{eqnarray*}$ ebenso wie $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ die Identische Abbildung aus: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ ist etwas ganz anderes!

18.06.2006, 13:41

JochenX

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ANDERERSEITS.....

könnte jemand, der frech in eine Gleichung f(x) einfach x^2 einsetzt und damit nix gutes meinte, genauso auf die Idee kommen, aus $\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} y^2(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ mit dem Funktionsnamen $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ zu lesen.

Und dann wäre diese Funktion namens "y²" tatsächlich die Normalparabelfunktion.

Das sind aber alles sinnlose Spielereien, weswegen das einfach nicht sein muss.

smile

edit: im einigermaßen sinnvollen Sinne ist f(x^2)=x^2 übrigens eine BEDINGUNG an eine Funktion
sie besagt, dass man den Funktionswert eines x1-Wertes berechnen kann, wenn man den den Funktionswert eines x2 Wertes kennt, mit x2^2=x1
Was immer das soll,es wird nicht nur von der Identität erfüllt.

18.06.2006, 13:57

Frooke

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Soweit habe ich gar nicht gedacht, da hast Du natürlich recht, Jochen! Deshalb mache ich (wenn ich von Hand und nicht am Computer schreibe) auch folgende Unterscheidungen:

Mit

$\begin{eqnarray*} f(x):=\operatorname{wasweissich}(x) \end{eqnarray*}$

definiere ich eine Funktion, Nullstellen suche ich mit:

$\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingungen prüfe ich oft auch mit

$\begin{eqnarray*} f(x_0)\stackrel{?}{\ne}0 \end{eqnarray*}$

Denn ganz allgemein weiss man nicht, ob mit f(x)=0 die Nullfunktion gemeint ist, oder ob man Nullstellen sucht...

Dies aber nur so als Hinweis, denn meistens gehen die Bedeutungen ja ganz klar aus dem Kontext hervor!

@Jochen: Gott

18.06.2006, 14:02

JochenX

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Ich hab eigentlich nix groß gemacht, wofür ich den Knicksemann verdiene.
Eigentlich wollte ich nur aufzeigen, was für einen Sch....ß man machen kann, wenn man Dinge definiert, die nutzlos sind und nur den Sinn haben, andere zu verwirren.
[das toppt noch solch tolle Vektorraum-Beweise, die anfangen mit "sei v2 aus U1 und u1 aus V2 und u2 aus V1....", wobei da auch nix falsch ist. Augenzwinkern

].
[edit: bitte nicht merken!]

Für dein letztes Problem kann ich dir übrigens auch diese Schreibweise empfehlen:
$\begin{eqnarray*} f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ oder genauer $\begin{eqnarray*} f(x) \equiv 0 \end{eqnarray*}$ für die Nullfunktion.

Fahre seit einiger Zeit gut mit dieser Schreibweise (okay im Forum scheitert es daran, dass ich erst den Latexbefehl suchen muss, aber aufm papier isses nur ein Strich mehr).

Aber nu wirds offtopic.

18.06.2006, 14:09

Frooke

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Danke für den Hinweis! Freude

Und Du hast recht, gewisse Konventionen sind schon gut... $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ sehen einfach schöner aus als irgendwas verwirrendes. Dennoch finde ich es ok, wenn grad Schüler sich manchmal etwas von Bezeichnungen lösen können. Ich habe neulich einen Radius eines Kreises in der Schule mit h bezeichnet (weil er gleich gross war wie die Höhe des zugehörigen Zylinders und da traten bei einigen schon Probleme auf... smile

)

18.06.2006, 14:12

system-agent

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Zitat:

Original von LOED
Für dein letztes Problem kann ich dir übrigens auch diese Schreibweise empfehlen:
$\begin{eqnarray*} f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ oder genauer $\begin{eqnarray*} f(x) \equiv 0 \end{eqnarray*}$ für die Nullfunktion.

was bedeutet das zeichen $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ denn genau?

18.06.2006, 14:26

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ hat mehrere Bedeutungen, ich denke am meisten findet es als "kongruent" bei der Modulo-Rechnung Verwendung.
$\begin{eqnarray*} 8 \equiv 3 (mod 5) \end{eqnarray*}$ z.B. hast du sicher schon gesehen.

Hier würde ich es als "f identisch 0" lesen, vielleicht exakter wieder "f ist identisch der Nullabbildung", denn eigentlich ist die ja hier als Abbildung gemeint (ich würde aber das erste sagen oder sogar ganz lapidar auf Normalsprache "f ist konstant 0" umsteigen).

@Mike: ich kann's mir vorstellen mit dem Radius, da stimme ich dir auch völlig zu.
Konventionen sind fein, aber eben keine Pflicht.

Aber im Vergleich zu Obigem fällt einem gleich auf: die Wahl des Radiusnamens h [oder Altenativ der Höhenbezeichnung r Augenzwinkern

] ist SINNVOLL.
Du hättest das (vermutlich schon aus Prinzip) nicht gemacht, wenn du keinen Grund dafür hättest, und noch wichtiger, wenn es NICHT klar wäre, dann würdest du es erklären.
f(x^2)=? steht einfach so unerklärt im Raum.
Bei geometrischen Dingen erklärt halt oft eine Skizze, was was ist. Niemals unterschätzen. smile

18.06.2006, 17:32

Leopold

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Durch eine Beziehung wie

$\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$

kann man, einmal unterstellt, hier soll für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion definiert werden, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig charakterisieren. Wohl ist aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hierdurch für alle Zahlen $\begin{eqnarray*} \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt, einfach weil in einem angeordneten Körper "Quadrat sein" und "positiv sein" dasselbe besagen. Natürlich kann eine relle Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$ haben. Auf die für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ definierten Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) = |x| \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \, x & \mbox{für} \ x \geq 0 \\ \, \sin{\frac{1}{x}} & \mbox{für} \ x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

trifft das z.B. zu. Ihre Restriktionen auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ sind jeweils die Identität.

Die Problematik, die Frooke anspricht, ist das alte Lied. Ich habe schon gelegentlich darauf aufmerksam gemacht, daß die Art, wie in der Analysis Funktionen geschrieben werden, großer Murks ist. Es ist historisch so gewachsen und wohl nicht mehr zu ändern. Aber gut ist es nicht. Nur dem umgebenden Kontext und dem gesunden Menschenverstand ist zu entnehmen, ob so etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ die Definition einer Funktion ist, ob eine Eigenschaft einer Funktion beschrieben wird oder ob gar ein Schnittproblem gestellt ist. Natürlich kann man durch Quantifizierungen ("für alle", "es gibt") das ein oder andere klarstellen, das Grundproblem aber bleibt. Und Zeichen wie $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ sind eher als hilflose Versuche, Ordnung in das Chaos zu bringen, denn als wirkliche Lösungen des Problems anzusehen. Wenn man zehn Mathematiker, die etwas von ihrem Fach verstehen, nach den Bedeutungen dieser Zeichen fragt, wird man zehn verschiedene Antworten bekommen, selbst wenn der Kontext der Zeichen bekannt ist.

Übrigens sind diese Zusammenhänge der Grund dafür, daß ich mich immer köstlich amüsiere und still in mich hineinlache, wenn Fragesteller, die z.B. sagen: "Ich habe Probleme mit der Funktion $\begin{eqnarray*} x^3 + 2x^2 - x +1 \end{eqnarray*}$ ", statt daß man auf ihre wahren Probleme eingeht, in der ersten Antwort gleich "Schreib bitte eine ordentliche Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 \end{eqnarray*}$ " zu hören bekommen.

Und noch etwas: Die durch $\begin{eqnarray*} f(x^2) = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ beschriebenen Problematiken sind wohl deutlich voneinander zu unterscheiden. Links hat man ja eine ganz andere Verkettungsreihenfolge. So erfüllt etwa die durch

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \begin{cases} \, -x & \mbox{für} \ x \ \mbox{irrational} \\ \, x & \mbox{für} \ x \ \mbox{rational} \end{cases} \end{eqnarray*}$

definierte Funktion durchaus die Relation $\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ .

18.06.2006, 18:51

Frooke

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Ich stimme Dir da vollkommen zu, aber zum Glück ist ja meist doch mehr oder weniger klar, was gemeint ist...

Zitat:

Original von Leopold
Ich habe schon gelegentlich darauf aufmerksam gemacht, daß die Art, wie in der Analysis Funktionen geschrieben werden, großer Murks ist. Es ist historisch so gewachsen und wohl nicht mehr zu ändern. Aber gut ist es nicht.

Kennst Du denn andere, bessere Schreibweisen?

18.06.2006, 19:21

Leopold

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Zitat:

Kennst Du denn andere, bessere Schreibweisen?

Nein, nicht wirklich. Man sollte es dabei belassen, wie es ist. Ich denke, es ist so wie immer: Wenn man sich der grundlegenden Problematik einer Sache bewußt ist, darf man auch großzügig in ihrer Handhabung sein.

siehe auch unter Lambda-Kalkül

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