Gebrochenrationale Funktion - Wendestellen/Polstelle - Tangente - Extremwert

15.09.2008, 13:20

Wrandy

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Gebrochenrationale Funktion - Wendestellen/Polstelle - Tangente - Extremwert

Hallo,

habe ein etwas komplexere Aufgabe, bei der ich an einigen Stellen nicht weiter komme...

fa(x) = (x²-4)/x²+a)

a darf nicht 0 oder -4 sein...

1. Zeigen Sie: Wenn eine Funktion fa Wendestellen hat, dann hat sie keine Polstellen.

4. a=2; f(x) = (x²-4)/(x²+2)

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graph von f, die durch den Punkt P(0/-2) gehen.

5. Der Punkt C(0/1) sei die Spitze von gleichschenkligen Dreiecken, die symmetrisch zur y-Achse liegen und deren Ecken A und B auf dem Graph von f liegen. Bestimmen Sie die Ecken A und B des Dreiecks mit dem größtmöglichen Flächeninhalt und geben Sie diesen an.

also, zu erstens:

Polstellen gibts nur für a<0, und zwar immer +- die Wurzel von a

Für die Wendestellen die zweite Ableitung: fa''(x) = (-6ax²-24x²+2a²+8a)/(x²+a)³

nun null gesetzt und ausgeklammert:

0=-6x²(a+4)+2a(a+4)

So, und nun, wenn man das zeichnet, sieht man klar, dass es für a>0 immer zwei Wendepunkte gibt, aber das geht ja aus der Gleichung nunmal gar nicht hervor...
Denn dort kommt ja a=-4 raus, was aber ausgeschlossen wurde... Hoffe ihr könnt hier helfen...

zu viertens:

Der Punkt P(0/-2) ist ja der Tiefpunkt. Also ist die Steigung in dem Punkt ja 0. So dementsprechend wäre jetzt die Gleichung y=-2

Aber dort steht ja aller Tangenten, und wenns schon im Plural in der Aufgabe steht, gibs doch auch mehr, oder ??

zu füftens:

hmm, hier hab ich nicht so wirklich nen Ansatz, außer eben:

A=1/2 a*b

Den Abstand ,und damit die Seitenlängen a und b, zwischen C und A bzw. B bekommt man mit dem Abstand zwischen 2 Punkten raus.
Soweit die Theorie, weiß aber net wie ich das umsetzen muss ??

15.09.2008, 13:31

tigerbine

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Rückfrage 1
Vielleicht auch mal mit latex.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{x^2-4}{x^2+a} = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2+a} \end{eqnarray*}$

Warum darf a jetzt nicht 0 oder-4 sein? steht das in der Aufgabe? verwirrt

verwirrt

15.09.2008, 13:49

Wrandy

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Antwort auf Rückfrage I
japp, steht in der Aufgabe... und bei a=-4, würde sich ja die ganze funktion wegkürzen, weil ja dann oben und unten das selbe stehen würde... und die 0 versteh ich auch nicht...

Sorry, an das Latex hatt ich nicht gedacht...

15.09.2008, 13:54

tigerbine

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Polstellen

Zitat:

1. Zeigen Sie: Wenn eine Funktion fa Wendestellen hat, dann hat sie keine Polstellen.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{x^2-4}{x^2+a} = \frac{(x+2)(x-2)}{x^2+a} \end{eqnarray*}$

"=>"

Die Funktion fa hat Wendestellen, dass bedeutet, wir müssen die zweite Ableitung betrachten. Diese muss dann Nullstellen haben. (notwendige Bedingung)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{(2x)(x^2+a)-(x^2-4)(2x)}{[x^2+a]^2} = \frac{2x(4+a)}{[x^2+a]^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2 \cdot \frac{(a+4)(3x^2-a)}{[x^2+a]^3} \end{eqnarray*}$

Wann hat der Zähler dann Nullstellen? a=-4, was nicht erlaubt ist. Ansonsten für alle a >=0. Gilt nun noch zu prüfen, ob wirklich Wendepunkte vorliegen.

15.09.2008, 14:18

Wrandy

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jo, dann ist das ganze $\begin{eqnarray*} x1=\sqrt{} \frac{a}{3} \end{eqnarray*}$

x2 entfällt ja...

aber bitte wie kommt man auf diese darstellung in der zweiten ableitung, hab erst gezweifelt ob meine falsch ist, ist aber das selbe, nur wie hast du das denn umgeformt ??? Denn ursprünglich ist es ja:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{-6ax²-24x²+2a²+8a}{(x²+a)³} \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 14:38

tigerbine

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Beim ableiten nicht ausmultiplizieren.

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15.09.2008, 14:52

Wrandy

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ah, ok, wenn mans in die dritte ableitung einsetzt, kommt ja heraus >0, damit TP

15.09.2008, 14:54

tigerbine

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TP? ich dachte es geht um WP.... verwirrt

verwirrt

15.09.2008, 15:07

Wrandy

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ah, sorry, ja natürlich ich meinte natürlich ungleich 0, damit WP, und zwischen den WP ist der TP und hier ist auch die Linkskrümmung, kleiner und größer als der WP ist es eine Rechtskrümmung.

15.09.2008, 15:15

tigerbine

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Zitat:

4. a=2; f(x) = (x²-4)/(x²+2)

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graph von f, die durch den Punkt P(0/-2) gehen.

Es wird ja nun nur gesagt, dass der Punkt (0/-2) auf der Tangenten liegen soll. Mit dem Krümmungsverhalten sollte es imho noch 2 weitere Möglichkeiten geben.

15.09.2008, 15:41

Wrandy

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

4. a=2; f(x) = (x²-4)/(x²+2)

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graph von f, die durch den Punkt P(0/-2) gehen.

Es wird ja nun nur gesagt, dass der Punkt (0/-2) auf der Tangenten liegen soll. Mit dem Krümmungsverhalten sollte es imho noch 2 weitere Möglichkeiten geben.

Versteh nich was du meinst, eine Tangente darf doch nicht schneiden, oder seh ich das falsch ? Und sobald die Tangente ne Steigung bekommt, gibs ja nen Schnittpunkt mit f...

15.09.2008, 15:44

tigerbine

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Jain. Gemeint ist hier die Tangente in einem Punkt, so dass sie dort die gleiche Steigung hat die wie Funktion. Die Gerade berührt dort den Graphen, es kann aber sein, dass sie ihn an einer anderen Stelle noch schneidet.

15.09.2008, 16:04

Wrandy

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hmm, ja, aber die steigung ist doch in dem punkt 0...was gibt es denn da noch für möglichkeiten ? Gibt ja keine weitere Steigung in dem Punkt...

15.09.2008, 16:06

tigerbine

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Ich sagte schon, dass die anderen Tangenten nur durch (0/-2) gehen, dort aber eben nicht berühren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2008, 16:33

Wrandy

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gut, wenn sie durch gehen und nicht berühren, dann sinds ja unendlich viele:
y=ax-2

Oder wieder falsch ?

Edit: nee, jetzt hab ichs kapiert...

15.09.2008, 16:35

tigerbine

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Dann gib mal die Lösung an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2008, 16:46

Wrandy

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Man nehme die Steigung in den Wendepunkten (+- 1,38) und den Punkt 0/-2 und man erhält zwei weitere Tangenten, die lauten:

$\begin{eqnarray*} y1 = 1,38x - 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y2 = -1,38x -2 \end{eqnarray*}$

Das sind doch die von dir angesprochenen 2 weiteren Möglichkeiten, richtig ?

15.09.2008, 17:38

tigerbine

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du musst berechnen, wo die Ableitung, gleich dem Steiungsdreieck ist. Dann du kannst die Tangente auf 2 Arten darstellen. Wir brauchen für eine Gerade einen Punkt wo sie durchgeht und die Steigung. Der Punkt ist (0/-2), die Steigung einmal das Dreieck, einmal die Ableitung.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{1,2} = \pm 0.75\cdot \sqrt{2} \approx\pm 1.06 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 18:58

Wrandy

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Zitat:

Original von tigerbine

du musst berechnen, wo die Ableitung, gleich dem Steiungsdreieck ist.

und wie macht man das ??? das hab ich ehrlich gesagt noch nie gehört, oder vllt. kenn ich die formulierung einfach nicht, aber damit kann ich nix anfangen...

15.09.2008, 19:04

tigerbine

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Steigungsdreieck? Durch 2 Punkte (x1/y1), (x2/y2)

$\begin{eqnarray*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

Ableitung ist aber bekannt, oder?

15.09.2008, 19:12

Wrandy

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Zitat:

Original von tigerbine
Steigungsdreieck? Durch 2 Punkte (x1/y1), (x2/y2)

$\begin{eqnarray*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

Ableitung ist aber bekannt, oder?

Ja, klar kann ich Ableitungen bilden, dass man so die Steigung berechnen kann, weiß ich auch, trotzdem ist mir das Prinzip in keinster Weise klar...
Ich meine, wie berechnest du denn das Steigungsdreick, man hat doch bloß den Punkt 0/-2 ??? Irgendwie steh ich auf dem Schlauch... oder nimmst du als zweiten Punkt den WP ???

15.09.2008, 19:19

tigerbine

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Nein, ich nehme als zweiten Punkt den gesuchten auf dem Graphen. Da ich ihn noch nicht kenne, muss ich eben allegemein

$\begin{eqnarray*} (x_1 / f(x_1) \end{eqnarray*}$

Ansetzen. Genauso für die Ableitung, die man ja an der gesuchten Stelle bestimmen muss. Es muss dann gelten:

$\begin{eqnarray*} f'(x_1) \stackrel{!} = \frac{f(x_1)-(-2)}{x_1-0} \end{eqnarray*}$

Dass ist dann eine gleichung mit x_1 als einziger unbekannten. Die Lösung habe ich schon angegeben. Versuch es mal.

15.09.2008, 20:13

Wrandy

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ah, ok jetzt bin ich auch drauf gekommen.

ZU füftens hab ich bereits auch schon mal weiter gedacht:

$\begin{eqnarray*} Hauptbedingung: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*g*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*x * f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} nebenbedingung: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x²-4}{x²+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Zielfunktion: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{x³-4x}{2x²+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(x) = \frac{2x³+16x²+12x}{(2x²+4)²} \end{eqnarray*}$

so, nun hab ich für x1=0, x2=-0,83, x3=-7,16
Zweite ableitung ergab, dass bei x2 nen HP ist, doch wenn ich das dann in die Zielfkt. einsetze komm ich nur auf mikrige 0,51... Ist das alles kompletter Blödsinn oder steckt wenigstens ein fünkchen richtiges drin ??

15.09.2008, 20:18

tigerbine

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Zitat:

5. Der Punkt C(0/1) sei die Spitze von gleichschenkligen Dreiecken, die symmetrisch zur y-Achse liegen und deren Ecken A und B auf dem Graph von f liegen. Bestimmen Sie die Ecken A und B des Dreiecks mit dem größtmöglichen Flächeninhalt und geben Sie diesen an.

sollen wir da die Funktion aus 4 nehmen?

15.09.2008, 20:33

Wrandy

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ja

15.09.2008, 20:45

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f_2(x)=\frac{x^2-4}{x^2+2} \end{eqnarray*}$

wie berechnet man denn höhe und breite. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist f symmetrisch zur y-achse. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2008, 21:06

Wrandy

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=\frac{x^2-4}{x^2+2} \end{eqnarray*}$

wie berechnet man denn höhe und breite. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist f symmetrisch zur y-achse. Augenzwinkern

Augenzwinkern

japp, symmetrisch is es zur y-achse, musste in nem anderen aufgabenteil diese funktion komplett diskutieren.

Höhe könnte man bestimmt mit Pythagoras berechnen...

Aber seit wann gibs denn bei nem dreieck ne breite ??

15.09.2008, 21:08

tigerbine

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Dann nenn es eben Grundseite. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie lauten denn nun die beiden größen in Abhängigkeit von x?

15.09.2008, 21:26

Wrandy

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also, da es ja reicht, wenn man das auf einer seite macht, aufgrund der symmetrie, ist c=x0 lang und die höhe h=1-f(x0)

15.09.2008, 21:33

tigerbine

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Jo, sieht gut aus.

15.09.2008, 21:39

Wrandy

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jo, und h is ja dann wenn man f einsetzt:

$\begin{eqnarray*} h = 1 - \frac{x²-4}{x²+2} \end{eqnarray*}$

kann man schon sagen, wenn die höhe maximal wird, wird der flächeninhalt maximal ??

15.09.2008, 21:41

Wrandy

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oder muss ich jetzt weiter in die Flächeninhaltsformel einsetzen, also:

$\begin{eqnarray*} A(x) = 1/2 * x *(1-\frac{x²-4}{x²+2}) \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 23:08

tigerbine

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Naja, wenn h maximal wird, dann ist x=0 und damit auch der Flächeninhalt futsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also sei x > 0

Hier mal ein Beispiel für x=2. Dann hätten wir den Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} A(2) = 0.5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (1-0) = 2 \end{eqnarray*}$

Allgemein

$\begin{eqnarray*} A(x) = 0.5 \cdot 2\cdot x \cdot (1-f(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = 0.5 \cdot 2 x \cdot (1-\frac{x²-4}{x²+2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = x-x\cdot \frac{x²-4}{x²+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{x^3+2x-x^3+4x}{x²+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{6x}{x²+2} \end{eqnarray*}$

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