Betrag abschnittsweise definieren

15.09.2008, 16:14

bambix

Betrag abschnittsweise definieren

Hi.

Kann mir jemand erklären, wie ich folgende Funktion abschnittsweise definiere?

$\begin{eqnarray*} y=abs(2x^2+4x) \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 16:15

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hat die Funktion denn eine kritische Stelle?

15.09.2008, 16:17

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Betrag abschnittsweise definieren
Ganz allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} |x|=\begin{cases}-x &: x\leq 0\\ x &:x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Daher wäre es ein guter Anfang die Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x\leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x^2+4x>0 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

15.09.2008, 16:40

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann kriege ich für die Nullstellen -2 und 0 als x-Werte heraus. Aber ich habe ja drei Abschnitte, wie schreibe ich es da?

15.09.2008, 16:46

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Warum Nullstellen und warum drei Abschnitte? verwirrt

Wie würdest Du denn z. B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = |x + 1| \end{eqnarray*}$

abschnittsweise schreiben?

// Sorry, ich sehe gerade, dass Du vom Prinzip her Recht hast. Ups

15.09.2008, 16:51

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

x+1 für x≥0
-x-1 für x<0

Aber wenn man die |2x^+4x|-Funktion zeichnet, sieht man ja, dass alles unterhalb der x-Achse an dieser gespiegelt wird.

15.09.2008, 16:57

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst ja auch nicht zeichnen, sondern rechnen:
Nun frage dich:
Gilt $\begin{eqnarray*} 2x^2+4x\leq0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2x^2+4x>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq-2 \end{eqnarray*}$ ?

15.09.2008, 16:57

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bambix

x+1 für x≥0
-x-1 für x<0

Da stand wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} x + 1, \textrm{falls }x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x - 1, \textrm{falls }x < 0 \end{eqnarray*}$

Richtig? Das ist aber nicht korrekt:

Zunächst mal gilt

$\begin{eqnarray*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1, & \textrm{falls }x + 1 \geq 0 \\-x - 1, & \textrm{falls }x + 1 < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst Du die Bedingungen noch nach x auflösen.

Eine Frage: Wie habt Ihr quadratische Ungleichungen rechnerisch gelöst?

Z. B.

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2x + 1 > 0 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 16:58

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben bisher aufgeschrieben:
"Man definiert eine Betragsfunktion abschnittsweise, indem man den Inhalt des Betrags nimmt für den Inhalt des Betrages >= 0 und -(Inhalt des Betrags) für den Inhalt des Betrags <0."

Dies lässt sich ja hier nun nicht anwenden.

15.09.2008, 17:00

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinem Beispiel:
Sorry, kleiner Leichtsinnsfehler. Im Prinzip kann ich das aber.

Quadratische Ungleichungen hatten wir bisher nicht. geschockt

15.09.2008, 17:03

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bambix

Dies lässt sich ja hier nun nicht anwenden.

Doch, natürlich:

$\begin{eqnarray*} |2x^2+4x| = \begin{cases}2x^2+4x, & \textrm{falls }2x^2+4x \geq 0\\-(2x^2 + 4x), & \textrm{falls }2x^2 + 4x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bambix

Quadratische Ungleichungen hatten wir bisher nicht.

Hm, dann wird es schwierig. Weißt Du, wie man die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x \geq 0 \end{eqnarray*}$

anhand des Graphen von

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

ungefähr ermitteln könnte? Und wie dann genau?

15.09.2008, 17:12

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, alles über der x-Achse ist >= 0?

15.09.2008, 17:14

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Man muss die Stellen suchen, bei denen der Graph über (oder auf!) der x-Achse verläuft.

Hier der Graph:

Welche Stellen sind das schätzungsweise? Und wie könnte man das rechnerisch überprüfen?

15.09.2008, 17:23

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah!
Ich glaube, jetzt hab ich's kapiert.

<=-2 und >0?

15.09.2008, 17:28

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz.

Also man muss auf jeden Fall die Nullstellen bestimmen, denn das sind gerade die "Schnittstellen", bei denen der Graph den Quadranten wechselt.

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$

gilt für

$\begin{eqnarray*} x \leq -2\ \vee\ x \geq 0 \end{eqnarray*}$

(Beachte, dass man die 0 dazunehmen muss, denn dort liegt ja gerade die Nullstelle, d. h. f(0) = 0)

Welche Lösungen hat dann die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x \geq 0 \end{eqnarray*}$

?

Und wie lauten dementsprechend die Lösungen von

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x < 0 \end{eqnarray*}$

?

15.09.2008, 17:45

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

> = 0:
$\begin{eqnarray*} L={x|x\leq-2 \vee x \geq 0} \end{eqnarray*}$

Und die andere:
$\begin{eqnarray*} L={-2<x<0} \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 17:48

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt. Damit ist die Aufgabe doch erledigt. Freude

$\begin{eqnarray*} f(x) = |2x^2+4x| = \begin{cases}2x^2+4x, & \textrm{falls }x \leq -2 \ \vee \ x \geq 0\\-(2x^2 + 4x), & \textrm{falls }-2 < x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 17:53

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Also stimmt das "oder" im ersten Teil? War mir unsicher.

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld mit mir. smile

15.09.2008, 18:02

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bambix
Also stimmt das "oder" im ersten Teil? War mir unsicher.

Hätte man "und" genommen, wäre keine sinnvolle Bedingung herausgekommen, denn keine Zahl ist gleichzeitig kleiner als -2 und größer als 0.

Aber das ist wirklich etwas schwierig auseinanderzuhalten:

Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für: $\begin{eqnarray*} x \leq -2 \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x) \leq -2 \end{eqnarray*}$ , UND es gilt $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 21:01

bambix

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Wäre nett, wenn das kurz jemand überprüft:

y=|2x²-4x-4|

y=2x²-4x-4, x<=-0,73 v x>=2,73
-2x²+4x+4, -0,73 < x < 2,73

16.09.2008, 10:11

TheWitch

Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell ist das ok, sehr viel besser wäre es allerdings, die Wurzelausdrücke dort stehen zu lassen, weil die Beziehungen ja eben nicht genau für diese gerundeten Werte gelten.

16.09.2008, 17:33

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Eher mehr: Mathematisch ist es vollkommen falsch zu runden. Man muss die exakten Werte nutzen.

Neue Frage »

Antworten »

Betrag abschnittsweise definieren

Verwandte Themen