Beweis und Teilbarkeit

26.05.2004, 14:07	chaos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis und Teilbarkeit Hab ne Frage zu einer Zahlentheorie Aufgabe: "Beweisen Sie dass zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen immer teilerfremd sind." zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen -> n² und (n+1)² teilerfremd -> a und b sind teilerfremd wenn gilt ggT(a,b)=1 => zu Zeigen: ggT(n²,(n+1)²)=1 hab versucht das durch vollständige Induktion zu beweisen Behauptung: ggT(n²,(n+1)²)=1 Induktionsbasis: n=1 n²=1²=1 (n+1)²=2²=4 ggT(1,4): b=qa+r mit a=ggT (Euklidischer Algorithmus) => 4=41+0 => ggT(1,4)=1 Induktionsschritt: Sei die Behauptung ggT(n²,(n+1)²)=1 wahr zu Zeigen: ggT((n+1)²,(n+2)²)=1 => b=qa+r mit a= ggT (Euklidischer Algorithmus) => (n+2)² = q (n+1)² +r so und hier komm ich nicht weiter muss ja jetzt den Euklidischen Algorithmus anwenden bis ich bei b = q * a + 0 bin und wenn dann a=1 ist ist der Beweis fertig kann mir jemand helfen???
26.05.2004, 14:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das lieber mit einem indirekten Beweis versuchen. Angenommen, n² und (n+1)² sind nicht teilerfremd. Dann besitzen sie einen gemeinsamen Primteiler p: p\|n² und p\|(n+1)². Und wie geht's nun weiter?
26.05.2004, 14:19	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wollte ich auch gerade schreiben, Leopold. Tip: Benutze auch die Primteilereigenschaft des Primteilers p, den Leopold erwaehnt hat.
26.05.2004, 14:26	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaub ich habs auch verstanden! Meine erste "olympiaden"-Aufgabe, die ich gelöst habe Stolz

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