wurzelgleichung

15.09.2008, 21:36

vogelscheuche

wurzelgleichung

Hallo,
weiß nicht wie ich die folgende Aufgabe angehen soll (Lösung vorhanden - aber kein Weg):

Auflösen nach y

$\begin{eqnarray*} x^{ \frac{1}{4}} - 2\cdot (x \cdot y)^{ \frac{1}{2}} + y^{ \frac{1}{4}} = 1 \end{eqnarray*}$

15.09.2008, 23:59

mYthos

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Forme den linken Term nach einer binomischen Formel um:

$\begin{eqnarray*} \ldots = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 \end{eqnarray*}$

Hilft dir das soweit?

mY+

EDIT: Das war leider falsch, thx f. d. Berichtigung!

16.09.2008, 18:05

vogelscheuche

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RE: wurzelgleichung
Also das wäre dann mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} (x^{ \frac{1}{2}} - y^{ \frac{1}{2}})^2= 1 \end{eqnarray*}$

2.Wurzelziehen:
$\begin{eqnarray*} x^{ \frac{1}{2}} - y^{ \frac{1}{2}}= 1 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} y^{ \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ umstellen:
$\begin{eqnarray*} y^{ \frac{1}{2}}= x^{ \frac{1}{2}}- 1 \end{eqnarray*}$

und abschließend noch quadrieren:
$\begin{eqnarray*} y= (x^{ \frac{1}{2}}- 1)^{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt leider nicht mit der Lösung aus dem Script überein:

$\begin{eqnarray*} y= ( \frac{1}{4x^{\frac{1}{2} }} \pm \sqrt{\frac{1}{16x} - \frac{1-x^{\frac{1}{4}} }{2x^{\frac{1}{2}}} }) \end{eqnarray*}$

Was mache ich also falsch?

16.09.2008, 18:17

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RE: wurzelgleichung

Zitat:

Original von vogelscheuche
Also das wäre dann mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} (x^{ \frac{1}{2}} - y^{ \frac{1}{2}})^2= 1 \end{eqnarray*}$

2.Wurzelziehen:
$\begin{eqnarray*} x^{ \frac{1}{2}} - y^{ \frac{1}{2}}= 1 \end{eqnarray*}$

Hier ist bereits der Fehler - besser gesagt: Die Unterlassung.

Schließlich gibt es noch einen zweiten Zweig:

$\begin{eqnarray*} x^{ \frac{1}{2}} - y^{ \frac{1}{2}}= -1 \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 18:23

vogelscheuche

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RE: wurzelgleichung
Na, das hat mir nun überhaupt nicht geholfen. Der zweite Weg sieht eher wie der erste aus, nicht wie die angegebene Lösung:

$\begin{eqnarray*} y= (x^{ \frac{1}{2}}+\pm \sqrt{1} )^{2} \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 18:25

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RE: wurzelgleichung
Stopp, Kommando zurück - jetzt sehe ich erst die Ausgangsgleichung. Die Umformung von mYthos ist bereits falsch:

Mit Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^{\frac{1}{4}},v=y^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ ergibt sich zunächst erstmal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} u-2u^2v^2+v = 1 \end{eqnarray*}$

Nach Umstellung ist das eine quadratische Gleichung bzgl. $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , die du mit üblichen Methoden lösen kannst. Am Ende dann Rücksubstitution.

16.09.2008, 18:27

vogelscheuche

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RE: wurzelgleichung
Prima, Danke Dir vielmals!

16.09.2008, 20:26

mYthos

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auch, das hatte ich was auf den Augen! Sorry und danke für die Berichtigung!

mY+

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