abstand hyperbel nullpunkt

18.06.2006, 16:33

donkarabelas

abstand hyperbel nullpunkt

hi hab eine nette extremwertaufgabe wo ich anstehe:

gesucht ist der minimale abstand der hyp $\begin{eqnarray*} x^2+8xy+7y^2-225=0 \end{eqnarray*}$ und des Ursprungs. meine idee war: $\begin{eqnarray*} | f(x,y)-(0,0) | \rightarrow min \end{eqnarray*}$ , aber ich steh ein wenig an das in die tat umzusetzen.

mfg
elias

18.06.2006, 17:13

20_Cent

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die funktion hängt nicht von x und y ab... du kannst die gleichung nach y auflösen. So müsstest du weiter kommen.
mfG 20

18.06.2006, 17:21

donkarabelas

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also das mit dem auflösen nach y stell ich mir schwer vor.

18.06.2006, 17:24

20_Cent

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pq-formel... (edit: oder abc-formel, mitternachtsformel)
relativ einfach, es kommen dann zwei funktionen als lösung raus.
mfG 20

18.06.2006, 17:26

Frooke

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RE: abstand hyperbel nullpunkt
Warum?

Ist eine ganz normale quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{7}_{=a}y^2+\underbrace{8x}_{=b}y+\underbrace{x^2-225}_{=c}=0 \end{eqnarray*}$

EDIT: Zu spät Hammer

18.06.2006, 17:31

donkarabelas

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genau, habs auch erst jetzt gesehen, aber man muss auch nachprüfen wo man nach y auflösen kann oder?

18.06.2006, 17:48

Frooke

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Nun, die Diskriminante gibt Dir an, wieviele reelle Lösungen Du kriegst. Sie ist in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} \mathrm D=64x^2-28\cdot(x^2-225) \end{eqnarray*}$

und das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe:

$\begin{eqnarray*} \mathrm D=36(x^2-175) \end{eqnarray*}$

Kannst ja mal den Wertebereich dieser Funktion hier ansehen:

$\begin{eqnarray*} \mathrm D(x):=36(x^2-175) \end{eqnarray*}$

19.06.2006, 14:03

Abakus

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Ein anderer Ansatz ist, die Hyperbel als Höhenlinie eines quadratischen Polynoms anzusehen (Mittelpunkt der Hyperbel ist (0, 0)):

$\begin{eqnarray*} q(x, y) = (x, y) \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Berechnung der Eigenwerte und -vektoren (stehen senkrecht aufeinander) bekommt man einige Informationen über die Hyperbel. Den minimalen Abstand zu 0 sollte ein Punkt auf einer zu einem positiven EW gehörenden Hauptachse haben (halt ausprobieren).

Grüße Abakus smile

20.06.2006, 07:29

Leopold

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@ donkarabelas

Ich glaube nicht, daß du so ganz verstanden hast, was du minimieren mußt. Nicht irgendein mysteriöses $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist zu minimieren, sondern

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + 8xy + 7y^2 - 225 = 0 \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist sogar $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ zu minimieren. Aber das ist ja der alte Trick, daß man stattdessen das Abstandsquadrat minimieren kann.

Wenn dir das Stichwort Hauptachsentransformation etwas sagt, dann gehe danach vor (siehe Beitrag von Abakus). Ansonsten brauchst du Methoden der Analysis, z.B. die Lagrangesche Multiplikatorregel.

Für die Hauptachsentransformation habe ich Folgendes erhalten:

Durch die lineare und damit eineindeutige Variablentransformation

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{1}{5}} \left( 2u + v \right) , \ \ y = \sqrt{\frac{1}{5}} \left( -u + 2v \right) \end{eqnarray*}$

geht das Problem über in

$\begin{eqnarray*} z = u^2 + v^2 \end{eqnarray*}$ minimieren unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} -u^2 + 9v^2 - 225 = 0 \end{eqnarray*}$

Und hier kannst du nun mit der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von nur einer Variablen bringen. Man kann das Minimum ablesen, wenn man sich überlegt, was in der Nebenbedingung der minimal zulässige Wert für $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} v^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du dann noch wissen willst, welche Punkte der Hyperbel minimalen Abstand vom Ursprung haben, mußt du die $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ -Koordinaten wieder in $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ -Koordinaten umrechnen.

20.06.2006, 14:03

20_Cent

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Zitat:

Original von Leopold
@ donkarabelas

Ich glaube nicht, daß du so ganz verstanden hast, was du minimieren mußt. Nicht irgendein mysteriöses $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist zu minimieren, sondern

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + 8xy + 7y^2 - 225 = 0 \end{eqnarray*}$

wie kommst du darauf, davon steht doch eigentlich nichts da, oder?
mfG 20

20.06.2006, 14:55

Leopold

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Es geht darum, Hauptbedingung und Nebenbedingung zu erkennen. Was ist zu minimieren? Der Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ vom Ursprung. Und der ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ . Nur sind nicht alle Punkte zur Konkurrenz zugelassen (sonst wäre natürlich der Ursprung selbst die Lösung; der hat nämlich von sich selbst den Abstand 0 - und kleiner geht's nicht!), sondern nur die Punkte einer Hyperbel. Und das gibt die Nebenbedingung.

20.06.2006, 17:42

Frooke

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@Leopold: 2 explizite Funktionen draus machen sollte aber auch passen oder? (Wobei ich grad bemerke, dass das auf das Gleiche hinausläuft. Früher oder später muss man die «Abstandsfunktion» minimieren...)

20.06.2006, 18:22

Leopold

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So geht es natürlich auch, und das ist in einfachen Fällen durchaus zu empfehlen. Aber einmal muß man sich sowieso daran gewöhnen, eine implizite Definition einer Kurve genauso zu akzeptieren wie eine explizite. So wie man sich irgendwann einmal an das Wurzelzeichen, an Sinus, Cosinus, Logarithmus und wie diese Gesellen auch immer heißen mögen, gewöhnt hat. Dabei sind das ja auch nur Namen, die die Mathematiker erfunden haben, weil sie dafür nichts Einfacheres gefunden haben ... Es sind Ausreden ...

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