Lösungsmenge des Gleichungssystem Ax=b

18.06.2006, 23:16

escherha

Lösungsmenge des Gleichungssystem Ax=b

Hi. Ich brauche dringend eure Hilfe, denn ich bin schon über 2 Tage an dieser Aufgabe und bekomme einfach nicht die Lösung in mein kopf.

Aufgabe:
Eine 4x4 Matrix A besitze den Rang 2. Das Gleichungssystem Ax=b besitze die Lösung vektor x0. Ist das die einzige Lösung? Beschreiben Sie die Menge aller Lösungen des Glöeichungssystems.

Also ich weiß das es nicht die einzigste ist. Also bitte bitte gibt mir eine Lösung an. Ich verzweifle bald - mit Weg wäre optimal.

Danke!!!!

Eschi

18.06.2006, 23:35

Abakus

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RE: Lösungsmenge des Gleichungssystem Ax=b
Willkommen im Forum, escherha!

Welche Sätze kennst du denn, die dir helfen könnten ? Wie löst du normalerweise solch ein LGS ?

Bzw. was waren deine bisherigen Überlegungen ?

Grüße Abakus smile

PS: nach dem Bordprinzip werden keine vollständigen Lösungen gepostet, die helfen nämlich keinem

19.06.2006, 10:07

escherha

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Satz ein inhomogenes LGS $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{b} \end{eqnarray*}$ , b $\begin{eqnarray*} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ , da sind x1,...,xn linear unabhängige Losungen von $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x0} \end{eqnarray*}$ eine Lösung des inhomogenen LGS $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{b} \end{eqnarray*}$ so lautet die Gesamtlösung:

= $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{x0} \end{eqnarray*}$ + a1* $\begin{eqnarray*} \vec{x1} \end{eqnarray*}$ + ... + a4* $\begin{eqnarray*} \vec{x4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das die Lösung, weiß ja nicht ob $\begin{eqnarray*} \vec{b} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist?

19.06.2006, 10:41

Pierre

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Such mal einen Satz, der dir etwas darüber aussagt, wie die Lösungsmenge aussieht, wenn eine Matrix vollen Rang hat und wie sie aussieht, wenn die Matrix nicht vollen Rang hat. Es gibt prinzipiell für die zwei Fälle zusammengenommen 3 Möglichkeiten: genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen (warum?), gar keine Lösung. Was heißt es denn, wenn man nur einen Lösungsvektor hat bzgl. der Dimension des Lösungsraumes?

19.06.2006, 10:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von escherha
weiß ja nicht ob $\begin{eqnarray*} \vec{b} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist?

Das ist im Grunde auch nicht von Belang, kann hier aber mal angenommen werden.

Entscheidend ist, daß du eine Lösung für das inhomogene GLS $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{b} \end{eqnarray*}$ hast. Jetzt brauchst du noch linear unabhängige Lösungen des homogenen GLS. Wieviel linear unabhängige Lösungen sind in diesem Fall möglich?

19.06.2006, 11:10

escherha

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nach der Dimensionsformel gibt es noch zwei Lösungen, oder nicht? zwei variablen, die ich für X benutzen kann.Ist das richtig. der Nullvektor ist sowieso dabei also, noch 2 andere und eben das xo. Oder bin ich in der falschen Richtung? Wie kann man den die Menge dann definieren?

Danke euch erstmal!

19.06.2006, 11:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von escherha
nach der Dimensionsformel gibt es noch zwei Lösungen, oder nicht?

Im Prinzip ja, aber du mußt es sauber formulieren:
Das homogene GLS Ax=0 hat zwei linear unabhängige Lösungen, meinetwegen $\begin{eqnarray*} \vec{x_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ .
Diese und die spezielle Lösung des inhomogenen GLS Ax=b (x_0) kannst du zur allgemeinen Lösung von Ax=b zusammenbasteln und zwar prinzipiell so, wie du das für den Vektor x geschrieben hast. Beachte dabei, daß der Vektor x nicht aus R ist, sondern aus R^4.

19.06.2006, 12:22

escherha

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Also lautet die Menge des Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R ^4 mit \vec{x0} + \alpha 1*\vec{x1}+ \alpha 2*\vec{2},\alpha 1,...\alpha 4 \in \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so richtig?

Danke bis dahin!

19.06.2006, 13:03

klarsoweit

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Irgendwie hast du enorme Probleme, etwas formal sauber hinzuschreiben. Das läßt mich vermuten, daß du den eigentlichen Sachverhalt noch nicht ganz verstanden hast. So wäre es richtig:

Die Lösungsmenge besteht aus allen Vektoren x aus R^4, die folgende Form erfüllen: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{x_0} + \alpha_1 \cdot \vec{x_1}+ \alpha_2 \cdot \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ mit alpha1 und alpha2 aus R.

19.06.2006, 13:08

escherha

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Danke für die Antwort. Genau so habe ich es auch gemeint. Aber man lernt ja dazu. Also ich danke euch allen.

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