analyt. Geom., Gleichung für eine parallel verlaufende Gerade

16.09.2008, 10:33

Dalice66

analyt. Geom., Gleichung für eine parallel verlaufende Gerade

Moin,
ich soll eine Gleichung für die Gerade h, die parallel zur Geraden

$\begin{eqnarray*} g:\overrightarrow {0X}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verläuft, erstellen. Ich weiß, dass es echt parallel verlaufende Geraden und identische Geraden gibt. Weiterhin kenne ich die Unterschiede zwischen den beiden. Mal angenommen, ich wähle für meine Aufgabe eine identische Gerade, wie erhalte ich dann die entsprechenden Aufpunkte dieser?

16.09.2008, 10:51

Romaxx

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Hallo,

die Richtung einer Geraden in Parameterform wird angegeben vom Richtungsvektor. Welcher ist das?

Daher ist es egal welchen Aufpunkt du für die Gerade h wählst (mit Ausnahme, das der Aufpunkt nicht auf der Gerade g liegen darf, sonst wären sie identisch), solange die Richtungsvektoren von h und g kollinear sind.

Gruß

16.09.2008, 10:56

Dalice66

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Der Richtungsvektor lautet :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ok, also ist hier nur die Kollinearität entscheidend. Im meinem Fall könnte ich dann zB. folgende Richtungsvektoren wählen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.09.2008, 11:19

mYthos

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Du kannst sogar denselben Richtungsvektor verwenden! Deine beiden anderen sind doch nur das Vielfache des gegebenen, somit bezeichnen alle die gleiche Richtung*. Den Faktor kann man ja wieder ausklammern und in den Parameter "verpacken". Entscheidend ist - wie bereits bemerkt - nur der Anfangspunkt.

*Hinweis: Wenn du alle drei Vektoren (von einem Punkt aus) zeichnest, wirst du bemerken, dass alle drei auf einer Geraden liegen.

mY+

16.09.2008, 11:55

Bjoern1982

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Zitat:

Daher ist es egal welchen Aufpunkt du für die Gerade h wählst (mit Ausnahme, das der Aufpunkt nicht auf der Gerade g liegen darf, sonst wären sie identisch)

Das klingt irgendwie so nebensächlich, weil du es nur beiläufig noch in Klammern erwähnst, dass der Aufpunkt NICHT auf der Geraden g liegen darf...aber genau DAS ist doch das Entscheidende bzw das einzig Anspruchsvolle an der Aufgabe, also die Vorstellung wie man jetzt an einen solchen passenden Aufpunkt gelangt.

Gruß Björn

16.09.2008, 14:28

Dalice66

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Hi,
genau den entsprechenden Aufpunkt suche ich. Das mit der Kollinearität und den Richtungsvektoren halte ich auch für logisch. Meine Aufgabe als Grundlage nehmend, wie müsste ich vorgehen, um einen entsprechenden Aufpunkt/Anfangspunkt zu finden? Hängt der "neue" Aufpunkt nicht auch von Lambda ab? Mal angenommen, ich wähle für Lambda die Zahl 1, dann erhalte ich als Punkt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine nächste Formel würde dann lauten :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hätte ich jetzt nicht alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt?

1.Ich habe einen neuen Aufpunkt
2.Der Richtungsvektor wäre derselbe(ich könnte natürlich auch die anderen, die ich schon anbrachte, nehmen)
3.Ich habe, wie in der Aufgabenstellung gefordert eine parallele Gerade(hier: eine identische)

16.09.2008, 14:42

klarsoweit

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Da du einen Aufpunkt genommen hast, der auf der Geraden g liegt, ist die Gerade h identisch mit der Geraden g (wie du auch selbst bemerkt hast). Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, sollte aber gerade das nicht so sein.

16.09.2008, 14:54

Dalice66

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Hi,
das ist nämlich das Problem. Die Aufgabenstellung ist m. E. nicht klar gestellt, da sie, so wie ich sie verstehe, die Definition "identisch" UND "echt parallel" zulässt. Bei einer "echt parallelen" Gerade, müsste ich natürlich andere Werte haben. Ist den meine "identische" und der Gedankengang dahin richtig?

16.09.2008, 15:02

Bjoern1982

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Joa...wenn du es denn so eng siehst....aber mal ehrlich, DANN hättest du auch einfach nochmal dieselbe Gerade hinschreiben können und somit dann gar nicht drüber nachdenken müssen...obs das dann wirklich sein kann ?
Sicher wäre die Formulierung "echt parallel" eindeutiger gewesen, aber ich würde in einer Arbeit keine Punkte für eine Aufgabe geben, wo man nur dieselbe Gerade nochmal hinschreiben muss Augenzwinkern

16.09.2008, 15:07

Dalice66

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Naja,
so unrecht hast du ja gar nicht, nur habe ich diesmal einen anderen Anfangspunkt errechnet. Ich werde einfach eine "echt parallele" und diese anbieten. Mehr kann ich dann nicht machen.

16.09.2008, 15:30

Bjoern1982

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Ist dir denn klar wie du einen Aufpunkt erhälst, der NICHT auf der Geraden liegt ?

16.09.2008, 15:47

Dalice66

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Lt. meinen Aufzeichnungen ist es so, dass zwei Geraden, ich nehme jetzt mal die aus einem Beispiel ,

$\begin{eqnarray*} g:\overrightarrow{0X}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h:\overrightarrow{0X}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}+ \mu\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

echt parallel sind, wenn sie, wie hier eindeutig sichtbar, kollinear sind. In den bisherigen Aufgabenstellungen waren die Aufpunkte angegeben. Wie bekomme ich denn nun diese?

16.09.2008, 20:37

mYthos

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Du kannst unendlich viele andere andere Aufpunkte wählen, die nicht auf der gegebenen Geraden liegen. Einer davon genügt bereits! Big Laugh

. Nimm irgendeinen, z.B. B(1; 1; 1) und teste diesen, dass er tatsächlich nicht auf der Geraden liegt. Dazu musst du ihn nur in die (alte!) Geradengleichung einsetzen, dabei darf es für den Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ keine Lösung geben. Den Richtungsvektor kannst du - wie schon erklärt - gleich belassen (nicht mit -1 multiplzieren).

mY+

16.09.2008, 21:15

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g:\overrightarrow {0X}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die x3 Koordinate jedes Punktes der Gerade in jedem Fall 1 lauten muss, kommen demnach schonmal alle Punkte als Aufpunkt in Frage die eben eine x3 Koordinate ungleich 1 haben.

17.09.2008, 09:40

Dalice66

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Hi,
wir haben das gestern in der Schule durchgekaut und ich habe mittlerweile die Abhängigkeiten und das Errechnen durch LGS der Aufpunkte geschnallt.

echt parallel = die Rchtungsvektoren verschiedener Geraden müssen kollinear sein, deren Aufpunkte dürfen aber nicht Element der Geraden sein.

Identisch = Richtungsvektoren müssen kollinear sein und die Aufpunkte müssen auf der Geraden liegen.

Danke an alle Wink

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