Ableitung gerader/ungerader Funktion |
| 19.06.2006, 12:40 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ableitung gerader/ungerader Funktion ich soll zeigen: wenn f gerade (bzw. ungerade) und differenzierbar ist, so ist f' ungerade (bzw. gerade). als definitionen kenne ich: eine funktion ist gerade wenn gilt: f(x) = f (-x) eine funktion ist ungerade wenn gilt: f(-x) = -f(x) ich hab erstmal nur versucht das ganze für f=gerade zu zeigen...aber weiß nicht mal ob mein ansatz richtig ist. also ich hab mir gedacht, dass ich das vielleicht mit dem differenzquotienten zeigen kann f'(-x0) = = aber nun weiß ich irgendwie nicht so recht was ich damit anfangen soll oder wie ich weitermachen soll. vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?? LG mir ist da grad doch selber noch was eingefallen...muss ich das genze jetzt einfach auch noch für f(xo) zeigen und wenn die beiden gleich sind, dann ist es fertig? Also: f'(x0) = =f'(-xo) ?? |
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| 19.06.2006, 12:44 | marci_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also es ist ja so f(x)=x² wenn man das ableitet kommt f'(x)=2x raus das ist doch immer so...also die hochzahl wird um eines erniedrigt... wenn nun alle glieder der funktion gerade hochzahlen haben und die funktion abgeleitet ist, haben alle gleider ungerade hochzahlen...und so ist es doch immer?! |
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| 19.06.2006, 12:47 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm...ich versteh nicht so ganz was du meinst glaub ich. |
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| 19.06.2006, 12:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ableitung gerader/ungerader Funktion
Also das ist so formal falsch. Nimm doch einfach die Funktion g(x):=f(-x) und leite die ab.
So, so. Und was ist mit Funktionen wie f(x)=sin(x) oder ? |
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| 19.06.2006, 12:58 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm? wie meinst du das? so?: g(x):=f(-x) g'(x) = = |
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| 19.06.2006, 13:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn, dann so: Ich meinte aber, daß du g(x) mit der Kettenregel ableitest. Es geht auch über den Differenzenquotienten. Dann müßtest du mal hinschreiben, was f'(a) bzw. f'(-a) ist. Aber bitte richtig. 
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| 19.06.2006, 13:17 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du meinst das hier, oder?: g(x) =u(v(x)) g'(x) = u' (v(x)) * v' (x) aber ich weiß nicht wie ich das hier benutzen soll... |
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| 19.06.2006, 13:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo ist das Problem? Nimm als u(x) die Funktion f(x) und v(x)=-x. |
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| 19.06.2006, 13:25 | marci_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ableitung gerader/ungerader Funktion
dann gilt das eben nicht bei allen funktionstypen
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| 19.06.2006, 13:29 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja schon...aber ich weiß nicht wie ich damit rechnen soll... :-( also wie soll ich denn f(x) ableiten?! (in der schule gabs immer schön irgendwelche zahlen...) oder schreibt man dann einfach: g'(x)=f'(-x)*-1 =-f'(x) ?! |
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| 19.06.2006, 13:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fast richtig: g'(x) = f'(-x) * (-1) = -f'(-x) Nun hatten wir g(x) = f(-x). Wenn f gerade ist, dann ist f(-x) = f(x). Also ist g(x) = f(x) und g'(x) = ..... Den Rest kannst du zusammenbauen.
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| 19.06.2006, 13:48 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ganze übersteigt irgendwie meinen verstand glaube ich. also ich muss doch jetzt irgendwie zeigen, dass g'(x) eine ungerade Funktion ist also f(-x)=-f(x)... ich glaub mir ist gar nicht richtig deutlich wo ich hin muss. denn gezeigt hab ich doch jetzt schon das g'(x) = -f' (-x) ist. muss ich jetzt -f' (-x) sozusagen "hochkeiten" und schaun ob da dann eine ungerade funktion rauskommt?! oder soll ich jetzt sowas schlussfolgern?: g'(x) =-f'(-x) >f'(-x) =-f'(-x) aber das hilft doch nicht wirklich weiter oder doch? und ich sehs einfach nicht. |
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| 19.06.2006, 13:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, wir müssen zeigen, daß f'(x) eine ungerade Funktion ist, wenn f selbst eine gerade Funktion ist. Dazu haben wir die Hilfsfunktion g(x) := f(-x) konstruiert und davon unter Anwendung der Kettenregel die Ableitung gebildet: g'(x) = f'(-x) * (-1) = -f'(-x) Nun der nächste Schritt: da f gerade ist, gilt natürlich auch: g(x) = f(x). Also ist g'(x) = f'(x). Alles zusammengebaut heißt das: f'(x) = -f'(-x) und fertig ist die Laube. 
Jetzt kannst du das ganze machen, wenn f ungerade ist.
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| 19.06.2006, 14:01 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
:-) ich glaub bei mir scheiterts einfach auch schon immer an den leichtesten stellen... wenn ich das jetzt also richtig verstehe ist f'(x)=-f'(-x) gleichbedeutend mit f'(-x)=-f'(x) ja? :-) (warum? ( ist bestimmt ne blöde frage)) |
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| 19.06.2006, 14:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt schlägt's dreizehn! |
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| 19.06.2006, 14:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Multipliziere die Gleichung f'(x)=-f'(-x) mit -1.
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| 19.06.2006, 14:11 | wilde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da braucht man ja nicht gleich so böse sein...hab selbst schon gemerkt, dass ich nicht so die leuchte bin, aber kann nicht mehr machen als mir mühe geben... mir ist einfach nicht deutlich gewesen an welcher stelle ich jetzt die vorzeichen drehen darf/muss wenn ich also f(x) mit -1 mal nehmen würde ob da dann f(-x) oder -f(x) oder -f(-x) raus kommt. das war auch schon die ganze frage. |
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| 19.06.2006, 14:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Klarstellung: wenn du f(x) mit -1 malnimmst, steht zunächst -f(x) da. Wenn du das Vorzeichen im Argument wechselst, mußt du das Vorzeichen vor der Funktion umdrehen oder eben nicht, je nachdem, ob die Funktion ungerade oder gerade ist. Aber in diesem Fall mußte man ja erstmal zeigen, daß f'(-x) = -f'(x) ist. Und wenn man schon hat, daß f'(x) = -f'(-x) ist, dann sollte man schon sehen, daß man auf beiden Seiten das Vorzeichen wechselt und dann am Ziel ist, und sich nicht alles vorkauen lassen. |
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| 08.12.2007, 00:35 | Ash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klarsoweit, ich verstehe zwar deinen beweis, aber eines verstehe ich nicht... wieso kann man eine Funktion mit der kettenregel ableiten? ich sehe da nur eine funktion und irgendwíe krieg ich es gedanklich nicht hin, da 2 funktionen komponiert miteinander zu sehe, so dass ich ein mit f(-x) multiplizieren darf, also die Ableitung von Was ist die äussere und was die innere Funktion? |
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| 08.12.2007, 13:29 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
setze , dann ist und nun die kettenregel |
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| 09.12.2007, 12:25 | Ash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hrhr - so formuliert isses logisch - danke... schluck, hoffentlich kriege ich die anderen aufgaben auch halbwegs hin^^ |
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