homogenes Polynom

19.06.2006, 13:43	Polynomer	Auf diesen Beitrag antworten »
homogenes Polynom Hi, mir fehlt da ein kleines Stück in meinem Skript un kann mir absolut keinen reim auf das machen, was da fehlt. Es geht darum, dass ein Polynom homogen ist, wenn irgendetwas konstant ist, nur was konstant sein soll fehlt. Ich habe noch ein kleines Beispiel, vielleicht sagt es ja einem von euch etwas. Das Polynom $\begin{eqnarray} x^{2} + 2x + y^{2} + y + 1 \end{eqnarray}$ ist nicht homogen, man kann es aber künstlich homogen machen, indem man $\begin{eqnarray} x^{2} + 2 zx + y^{2} + zy + z^{2} \end{eqnarray*}$ schreibt. Wenn man jetzt z =1 setzt hat man wieder das ursprüngliche Polynom, das ist mir klar, aber was muss jetzt konstant sein, damit ein Polynom homogen ist? Danke für eure Hilfe.
19.06.2006, 14:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Glieder $\begin{eqnarray} x^{\alpha}y^{\beta}z^{\gamma} \end{eqnarray}$ des homogenen Polynoms müssen dieselbe Exponentensumme $\begin{eqnarray} \alpha+\beta+\gamma \end{eqnarray}$ haben, in deinem Fall ist das der Homogenitätsgrad 2, damit dann $\begin{eqnarray} f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^2f(x,y,z) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y,z,\lambda \end{eqnarray}$ gilt.
19.06.2006, 14:47	polynomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Exponentensumme ist mir nicht ganz klar. Was muss ich denn aufsummieren? Muss ich das Polynom so aufblähen, dass ich in jedem Summand das Polynom vom höchsten grad ausklammern kann???
19.06.2006, 14:51	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten, du schaust dir erst nochmal an, was genau eine "Graduierung" ist und was überhaupt sinnvolle Polynomgraduierungen sind. Die von Arthur genannte ist NICHT die einzige, wenn auch die "normalste". Mit ausklammern hat das hier gar nix zu tun, aber wie schon gesagt: schau nochmal nach den Grunddingen. Hier ist die natürliche Graduierung: grad(X)=1, grad(Y)=1, grad (Z)=1.... (natürlich grad(k)=0 für alle k aus dem Grundkörper) und den damit verbundenen Graden für den Polynomring in mehreren Unbestimmten (der ja von den X,Y,Z erzeugt wird).

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