Anfangswertproblem

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19.06.2006, 19:13	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Hallo!! Ich soll bei einer Aufgabe das Anfangswertproblem lösen: x´= tx + tx^2, x(0)=1 Nur ich habe das überhaupt nicht verstanden, wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.Habe zwar schon viel dazu gelesen, aber weiter geholfen hat es mir leider nicht... Danke für die Hilfe....
19.06.2006, 19:55	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Verfahren zum Lösen solcher Aufgaben sind dir denn (vielleicht wenigstens vom Namen her) bekannt?
19.06.2006, 20:48	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe noch mal unser Script genau durchgelesen und da steht nix dazu drinnen und was genau das Anfangswertproblem ist auch nicht. Habe aber noch so rum geschaut: Runge - Kutta -Verfahren Seperation habe ich gefunden, aber habe überhaupt keine Ahnung was das bedeutet und wie man sowas macht...
19.06.2006, 21:01	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Das du nix in deinem Skript findet lässt eher auf Lücken in deinen Aufzeichnungen schließen. Basics: Deine Differentialgleichung ist im ganz allgemeinen von der Gestalt $\begin{eqnarray} x'=f(t,x) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ definiert dabei ein Gebiet G in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Jedem Punkt von G wird nun ein Tripel $\begin{eqnarray} (t,x,f(t,x)) \end{eqnarray}$ zugeordnet. Dieses Tripel wird als Linienelement gedeutet (=Punkt mit Richtung). Die Gesamtheit dieser Tripel heißt auch Richtungsfeld zur gegebenen Dgl. Mit dem gegebenen Anfangswert $\begin{eqnarray} x_0:=x(0) \end{eqnarray}$ kann nun die eindeutige Lösung (vgl. Satz von Peano, Satz von Picard-Lindelöf) berechnet werden. Die von dir vorgelegte Dgl. sollte mittels Separation lösbar sein. Dazu nutzt du $\begin{eqnarray} x'=\frac{dx}{dt} \end{eqnarray}$ und bringst alles mit t auf eine Seite (dem entsprechend alles mit x auf die andere Seite) des "=". Wenn du soweit bist, poste mal dein Zwischenergebnis incl. Rechenweg.
20.06.2006, 12:05	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo!! Danke für deine Erklärung.. Na ja eigentlich müsste meine Aufzeichnungen schon vollständig sein, haben auch noch ein extra Script vom Prof. bekommen, aber egal.. Ok, hoffe habe es richtig gemacht, also dich richtig verstanden... x´= tx + tx^2 $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} = tx + t x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx = t(x+x^{2})dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dx}{(x+x^{2}) } = tdt \end{eqnarray*}$ Ok, das habe ich nun gemacht und hoffe das es soweit richtig ist... MFG Gast23
20.06.2006, 12:23	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut soweit stimmt alles. Nun darfst du auf beiden Seiten "stetig aufsummieren", d.h. das Integralzeichen davorschreiben. Also so $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{x^2+x}dx=\int t dt \end{eqnarray}$ Das integrierst du jetzt. Die Konstante, die dabei entsteht, kannst du über den Anfangswert eindeutig bestimmen.
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20.06.2006, 12:58	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
das doch schon mal gut das es stimmt..So nach dem integrieren sieht es bei mir so aus: ln(x) - ln(x+1) = 1/2 t^2 +c So der Anfangswert war ja x(0) = 1 Also habe ich dann für x = 1 gesetzt und die rechte Seite außenvorgelassen. Dann komme ich auf c= - 0,69. Kommt mir aber irgendwie nicht richtig vor?!?! Ok und dann muss ich ja die Gleichung nach x auflösen, ist das richtig??? Aber dann würde ja mein x wegfallen??Oder habe ich da jetzt wieder etwas falsch???
20.06.2006, 13:07	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Integration stimmt. c bestimmst du nun, indem du t=0 und x=1 einsetzt, denn das bedeutet ja grad x(0)=1. Poste dann noch deine Lösung, damit der Thread komplett ist.
20.06.2006, 13:24	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das hatte ich ja gemacht ( So ungefähr.. ) Also: ln(1)-ln(2) = c c= -0,69 Und nun??habe dann ja c, aber wie geht es weiter???
20.06.2006, 13:28	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun musst du nach x auflösen. Dabei solltest du aber nutzen, dass $\begin{eqnarray} \ln(x)-\ln(x+1)=\ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \end{eqnarray}$ . Wenn du nach x aufgelöst hast, bist du fertig, da x ja eigentlich nur für x(t) steht.
20.06.2006, 13:42	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, irgendwie stehe ich glaube ich gerade voll auf dem Schlauch, ich kann nicht nach x auflösen......
20.06.2006, 14:40	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
habe es doch hinbekommen, man soll ja nciht zu schnell auf geben.. Schreibe es mal, damit es komplett ist oder wenn es falsch ist, dass ihr mich korigieren könnt... $\begin{eqnarray} ln(\frac{x}{x+1}) = 0,5 t^{2}- 0,69 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{x+1}= e^{0,5t^{2}}+0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = (x+1)(e^{0,5t^{2}}+0,5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x -x(e^{0,5t^{2}}+0,5)=e^{0,5t^{2}}+0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(1-(e^{0,5t^{2}}+0,5))=e^{0,5t^{2}}+0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x= \frac{2e^{0,5t^{2}}+1}{1-2e^{0,5t^{2}}} \end{eqnarray*}$ So ich hoffe auch das es timmt und ich mich nicht irgendwo verrechnet habe.. Vielen Dank für die Hilfe....
20.06.2006, 18:15	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig, aber ich versteh nicht, wie aus -0,69 auf einmal +0,5 wird. Vorsicht: Die e-Funktion ist NICHT linear!
21.06.2006, 12:25	Gast23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh, daran habe ich nicht gedacht... Könnte man das denn dann so machen: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x+1} = e^{0,5t^2} e^{-0,69} \end{eqnarray*}$ So und da sich ja das -0,69 aus ln(0,5) ergibt, kann man dann nicht wieder 0,5 schreiben???Das hebt sich ja auf.... Könnte ich dann damit weiter rechnen???
21.06.2006, 12:49	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das kann man machen. Dabei ist dann aber 0,5 ein Faktor und nicht, wie in deinem ersten Lösungsvorschlag, ein Summand. Edit: Aber dennoch ist $\begin{eqnarray} e^{-0.69} \end{eqnarray}$ wesentlich genauer als 0,5. Also runde nicht, wenn es nicht nötig ist.

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