Verschoben! Approximation einer Wurzelfunktion (oder: Arthur ich rufe dich!)

16.09.2008, 15:56

zugastbeifreunden

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Approximation einer Wurzelfunktion (oder: Arthur ich rufe dich!)

Hallo,

Ich suche eine geeignete Approximation (am besten einen linearen Ausdruck) für große x,y bei folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sqrt[]{{x^{2}+y^{2}}}-R}{\sqrt[]{x^{2}+y^{2}} } \end{eqnarray*}$

hierbei ist zu beachten, dass R selbst auch eine große Zahl ist. Taylorentwicklung macht sich ja hier nicht sooo gut, da ich die Wurzel eliminieren will.

Wünsche noch einen schönen Tag!

16.09.2008, 15:59

zugastbeifreunden

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sry, hier nochmal die funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sqrt[]{{x^{2}+y^{2}}}-R}{\sqrt[]{x^{2}+y^{2}} } \end{eqnarray*}$

ModEdit: Das ist doch dieselbe wie oben! mY+ verwirrt

verwirrt

16.09.2008, 16:22

AD

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Die vage Information, dass alle drei Größen "groß" sind, nützt bei der vorliegenden Funktion überhaupt nichts - diese Größe lässt sich wegskalieren.

Irgendwelche linearen Approximationen sind allenfalls lokal denkbar, also in einer kleinen Umgebung irgendeines Punktes $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Wer hat denn jetzt den Threadtitel derart geändert? verwirrt

verwirrt

16.09.2008, 19:10

WebFritzi

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RE: Approximation einer Wurzelfunktion (oder: Arthur ich rufe dich!)

Zitat:

Original von zugastbeifreunden
Ich suche eine geeignete Approximation (am besten einen linearen Ausdruck) für große x,y bei folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sqrt[]{{x^{2}+y^{2}}}-R}{\sqrt[]{x^{2}+y^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sqrt[]{{x^{2}+y^{2}}}-R}{\sqrt[]{x^{2}+y^{2}} } = 1 - \frac{R}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck ist also nahezu 1, wenn x und y sehr groß sind. Also wäre die konstante Einsfunktion eine Approximation. Aber du hast dich nicht klar ausgedrückt. Vielleicht willst du ja nur lokale Approximationen. Da bietet sich natürlich die lineare Funktion an, deren Graph die Tangentialebene an den Graphen von f in einem gegebenen Punkt ist.

EDIT: Das Thema gehört eigentlich in die Analysis.

16.09.2008, 19:14

AD

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Zitat:

Original von WebFritzi
Der Ausdruck ist also nahezu 1, wenn x und y sehr groß sind.

Zitat:

Original von zugastbeifreunden
hierbei ist zu beachten, dass R selbst auch eine große Zahl ist

Augenzwinkern

16.09.2008, 20:44

WebFritzi

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OK. Naja, wie gesagt fehlen Informationen. Mir jedenfalls... Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: @Arthur: Sehe gerade, dass ich in meinem ersten Post ähnliches geschrieben hatte wie du zuvor. Sorry dafür. Hab wie sooft nicht fleißig genug gelesen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

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16.09.2008, 20:53

mYthos

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Zitat:

Original von Arthur Dent
...
EDIT: Wer hat denn jetzt den Threadtitel derart geändert? verwirrt

verwirrt

Den Threadtitel kann nur der Threadersteller bzw. ein Moderator ändern. Die Mod's haben sicher keine Veranlassung dazu Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von WebFritzi
...
EDIT: Das Thema gehört eigentlich in die Analysis.

mY+

Ja, so ist es, deswegen ***verschoben***

16.09.2008, 20:56

WebFritzi

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Und kann ein unregistrierter Threadersteller den Threadtitel ändern?

16.09.2008, 21:22

mYthos

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Ich denke, nur in einem gewissen Zeitraum nach der Threaderstellung. Ich glaube nach wie vor nicht, dass ein Mod das so geändert hat ... . Allerdings müsste man ja den Änderungshinweis sehen. Sehr verwundert. Der Threadsteller hat wahrscheinlich den Titel gleich so geschrieben und Arthur hat das nicht gleich gesehen? Wie soll man das sonst erklären?

mY+

16.09.2008, 22:15

tigerbine

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1. Der Titel war imho von Anfang an so

2. Ich habe das latex im ersten post korrigiert. Dann hatte der user schon neu gepostet, ich wollte nicht löschen.

17.09.2008, 08:00

zugastbeifreunden

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Okay, ich habe mich schon sehr schlecht ausgedrückt - zugegeben, ich nehme mir jetzt mal etwas mehr zeit:

Es geht darum eine Transformation der Gravitation bei Geschossen im Raum vorzunehmen. Ausgehend von einem erdfesten Koordinatensystem auf der Erdoberfläche (bei dem die y-Achse die Höhe, die x-Achse in Richtung des Abschusses und die z-Richtung die links-rechts-Abweichung beschreibt) in ein Koordinatensystem, dass seinen Ursprung im Erdmittelpunkt hat (hier soll die y-Richtung mit der Erdachse zusammenfallen, die x-Achse wieder in Richtung des Abschusses und die z-Richtung... naja viel bleibt nicht mehr übrig).

Jetzt gilt (bei Beachtung der gekrümmten Erde) für die Gravitation im ERDFESTEN Koordinatensystem:

$\begin{eqnarray*} \vec{g}=g*\begin{pmatrix} \frac{x}{R} \\ 1-\frac{2y}{R} \\ \frac{z}{R} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit R = Erdradius (in g wird später die Zentrifugalkraft beachtet)
Diese Herleitung ist nicht allzu schwierig und es gibt auch genug Literatur darüber, anders sieht es für ein KOS im Erdmittelpunkt aus.

Bei der Zeit t = 0 hat der Punkt P im ERDFESTEN Koordinatensystem die Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für das im KOS im Erdmittelpunkt:

$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} R*cos(\beta) \\ R*sin(\beta ) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ der Breitengrad der Erde.

Ziel ist es nun einen "leichten" gut approximierten Ausdruck für die Gravitation eines Projektils im Erdmittelpunkt zu finden.

Für $\begin{eqnarray*} x(t),y(t),z(t) \end{eqnarray*}$ . Die Transformation für einen beliebigen Punkt im Erdfesten --> KOS im Erdmittelpunkt habe ich schon aufgestellt.

Ich habe folgende Überlegungen angestellt:
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ der Breitengrad
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Winkel zwischen x-Achse und Projektil

$\begin{eqnarray*} \vec{g} =\begin{pmatrix} g(h)*cos(\alpha )*cos(\beta) \\ g(h)*sin(\beta)*cos(\alpha)\\ g(h)*sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hoffe das stimmt überhaupt noch^^
So jetzt betrachten wir mal nur die Kraft in x-Komponente, $\begin{eqnarray*} g(h)*cos(\alpha )*cos(\beta) \end{eqnarray*}$ . Es gilt nach geometrischen Beziehungen:
$\begin{eqnarray*} cos(\beta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{eqnarray*}$

so und jetzt eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} gx&=&\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}*\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} *g(h)\\ &=&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}*\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} *g*\frac{R^{2}}{(R+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}-R )^{2}}\\ &=&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}*\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} *g*\frac{R^{2}}{({x^{2}+y^{2}+z^{2})}} \end{eqnarray*}$

so jetzt hängt es... entweder sage ich das z sehr klein ist (z << x) .. bringt aber nix.

Entweder hat ein kluger Kopf eine Idee wie man die Gravitation schon von anfang an anders ausdrücken kann, oder die Approximation sollte vereinfacht werden. (Es muss später in eine Diff-Gleichung und sollte möglichst analytisch lösbar sein)

Edit (DS): Formelumbrüche ergänzt.

17.09.2008, 08:01

zugastbeifreunden

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vergesse auch immer was: h soll natürlich die höhe über der meeresoberfläche darstellen

17.09.2008, 13:47

AD

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Zitat:

Original von zugastbeifreunden
Jetzt gilt (bei Beachtung der gekrümmten Erde) für die Gravitation im ERDFESTEN Koordinatensystem:

$\begin{eqnarray*} \vec{g}=g*\begin{pmatrix} \frac{x}{R} \\ 1-\frac{2y}{R} \\ \frac{z}{R} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit R = Erdradius (in g wird später die Zentrifugalkraft beachtet)
Diese Herleitung ist nicht allzu schwierig und es gibt auch genug Literatur darüber, anders sieht es für ein KOS im Erdmittelpunkt aus.

Nach meinen Kenntnissen über die Gravitation würde ich diese Formel stark in Zweifel ziehen - zumindest für alle nicht "erdoberflächennahen" Bereiche - sowohl über als auch unter der Erdoberfläche:

Die Gravitationsbeschleunigung auf eines Körpers ist zum Erdmittelpunkt gerichtet und vom Betrag her

$\begin{eqnarray*} g(y) = \begin{cases} g\cdot \frac{R^2}{y^2} & \;\mbox{für}\; y\geq R\\ g\frac{y}{R} & \;\mbox{für}\; 0\leq y\leq R \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Entfernung von Erdmittelpunkt. Folgende vereinfachende Annahmen werden dabei getroffen:

- Kugelgestalt der Erde
- homogene Masseverteilung im Innern der Erde

(horizontal: Abstand vom Erdmittelpunkt in km / vertikal: Gravitationsbeschleunigung im m/s²)

17.09.2008, 14:16

zugastbeifreunden

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Ja da hast du recht, mal wieder vergessen: Es geht nicht um Satelliten sondern wie ich geschrieben habe um Geschosse. Diese haben höchstens eine Höhe von 25km, daher ist die Formel in Ordnung. Die Reichweite solcher Geschosse ist aber um einiges länger als die Höhe, daher muss die Erdekrümmung beachtet werden
Das die Erde als "Kugel" idealisiert wird ist okay.

Für y << R ist das eine sehr gute Approximation, kann ich STANAG 4355 oder Hermann Athen: Ballistik - Hochschulwissen in Einzeldarstellungen, nachgelesen werden.

17.09.2008, 16:42

AD

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Ich wollte hier durchaus nicht Haare spalten, aber hiermit

Zitat:

Original von zugastbeifreunden
Ziel ist es nun einen "leichten" gut approximierten Ausdruck für die Gravitation eines Projektils im Erdmittelpunkt zu finden.

verlässt du ja schon recht deutlich die Erdoberfläche - und zwar nach unten!!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2008, 12:25

zugastbeifreunden

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Jupp, aber die Berechnung für Projektile im Erdinneren brauch ich erst, wenn ich mir in den Fuss schiesse. Bis dahin reicht mir die "normale" Flugbahn.

btt: Wäre wirklich für jede Hilfe dankbar!

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