Nicht-stetige, lineare Funktion

Neue Frage »

Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-stetige, lineare Funktion
Hallo!

Kann mir jemand ein Beispiel für eine nicht-stetige, lineare Funktion spontan angeben bzw. konstruieren?

Gruß vom Ben
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich das in meinem Buch verstanden habe, kann man das z.B. über Fallunterscheidung machen, also wenn man die Funktion für x<0 anders definiert als für x>0, das nennt man dann Sprungstetigkeit. Ich nenne dir einfach mal das Beispiel:


Da ist der linksseitige Grenzwert ungleich dem rechtsseitigen.
Meinst du sowas?

Gruß
Hanno
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

*raeusper*

Ich hab was fuer dich Ben:

Sei V die Menge aller auf ganz R beschraenkten und beliebig oft
differenzierbaren Funktionen. Die Norm sei doe Supremumsnorm.
Betrachte die Folge f_n(x)=1/n * sin nx. Ihre Grenzfunktion ist die Nullfunktion.
Die Folge (f_n(x))' = cos nx ist dagegen divergent.

Daher ist die lineare Abbildung
f -> f' an 0 (Nullfunktion)
nicht stetig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

-> Hamel-Basis
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

@m00xi:
Deine Funktion ist zwar stueckweise affin, aber nicht linear.
Die Funktionen, die man in der Schule als lineare Funktion bezeichnet, sind affine Abbildungen.

@Leopold:
Willst du uns dezent auf ein Beispiel einer Q-linearen Abbildung von R nach R hinweisen, die bezueglich der ueblichen Betragsnorm nicht stetig ist? :-)
Dass eine nichtstetige Q-lineare Abbildung von R nach R ein paar interessante Eigenschaften hat, weiss ich. Ich hab aber leider noch keine gesehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, eine (R -> R) - lineare Abbildung meine ich.
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

@Irrlicht: Danke, an sowas in der Art dachte ich. Ich werd´s mir nochmal zu Gemüte führen, wenn ich mehr zeit habe (was im Moment nicht der Fall ist).

@leopold: Auch nach dem Studium dieser Definition weiss ich noch nicht so recht, worauf du hinauswillst.

Vielen Dank schonmal,
Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja... und welchen "(R -> R)-Vektorraum" betrachtest du dann? ;-)

Du meinst sicher eine R-lineare Abbildung zwischen R-Vektorraeumen. Da du von einer Hamel-Basis sprichst, muessen die unendlichdimensional sein. Welche schlaegst du vor?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, sorry, ich dachte das könne man auch als lineare Abbildung bezeichnen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ SirJective

Ich meine R als Vektorraum über Q. Es sei {a_i}, i aus einer geeigneten Indexmenge I, eine Basis (Hamel-Basis). Dann kann man f auf den a_i beliebig vorgeben und dann zu einer linearen Abbildung auf R fortsetzen. Und so kann man auch eine unstetige lineare Abbildung R->R konstruieren.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold, jetzt weiss ich endlich, wie man das macht.

In der Zwischenzeit hab ich ein anderes Beispiel angegeben:

Betrachte den Raum der reellen Zahlenfolgen, die ab einem Index gleich 0 sind.
Der ist normiert bezueglich der Supremumsnorm.

Sei f: R^(N) -> R^(N) die Abbildung, die die Folge (a_k) auf (k a_k) abbildet.
Diese ist linear.
Sei e_k = (0, ..., 0, 1, 0, ...) mit der 1 an der k-ten Stelle. (Die e_k bilden eine Basis von R^(N), aber das brauchen wir hier nicht.)

Die Folge (e_k / k) konvergiert bezueglich der Supremumsnorm gegen 0.
Aber f(e_k / k) = e_k konvergiert nicht gegen 0, sondern gar nicht.

@Ben:
Dies ist ein weiteres Beispiel einer unstetigen linearen Abbildung eines R-Vektorraums in sich. Es ist nur nicht so "natuerlich" wie das von Irrlicht gegebene Beispiel.

@m00xi:
Der Begriff der linearen Funktion wird leider in der Schule anders als im "Rest der Mathematik" verwendet. Dein Beispiel ist aber auch nicht affin, sondern nur stueckweise affin.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ SirJective

Wenn du die (R->R)-lineare unstetige Funktion dann konstruiert hast, schick mir doch bitte ein schönes Bild von ihrem Graphen.
Danke schon einmal im voraus für deine Bemühungen!
epikur Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischen endlichdimensionalen VR's sind lineare Funktionen immer stetig.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

SirJective wollte mit der Frage nach dem "(R -> R)-Vektorraum" eigentlich darauf aufmerksam machen, dass man von einer K-linearen Abbildung spricht, bei der K ein Körper (oder Ring) ist. Eine gewöhnliche Gerade y = mx ist eine Abbildung f: R -> R, die R-linear ist, nicht "(R -> R)-linear".

@epikur: Richtig.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und was soll ein (R->R)-Vektorraum sein? Ist damit ein Unterraum der Funktionen, die von R nach R gehen, gemeint? Und was soll (R->R)-linear sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich kurz ausdrücken wollen, dann wurde es falsch. Ich meinte ein lineare Abbildung von R nach R.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Das dachte ich mir schon. Leider fehlte mir die Angabe, "was-linear" die Abbildung von R nach R sein sollte.

Ich kann zwar keine nichtstetige Q-lineare Abbildung von R nach R konstruieren, aber ich weiß wie ihr Graph aussehen würde, wenn ich eine konstruiert hätte. Die Funktion ist in der Abbildung weiß eingezeichnet ;-)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Müßte dann der Ursprung nicht auch weiß sein? Denn lineare Abbildungen bilden 0 auf 0 ab. (Oder sieht man das nur nicht, weil Punkte die reelle Dimension 0 haben?)

Ich möchte hier einmal ansatzweise ein Beispiel für eine nicht-stetige lineare Abbildung von R nach R angeben:

Wir betrachten R als Vektorraum über Q. Schon aus Gründen der Kardinalität ist dieser von überabzählbarer Dimension. Er besitzt eine Basis B, und wir können, da 1 und die Kreiszahl pi über Q linear unabhängig sind, diese beiden als Elemente von B annehmen (Steinitzscher Austauschsatz).

Jedes x aus R kann dann eindeutig als Linearkombination

mit rationalen fast alle 0

bezüglich B geschrieben werden.

Jetzt setzen wir

für .

Man kann das zu einer linearen Abbildung von R nach R fortsetzen durch

.

( ist der rationale Skalar, mit der 1 an der Linearkombination beteiligt ist.)

Für alle rationalen x folgt sofort:

Und für pi:

Also ist die Abbildung unstetig.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die ganze Ebene muesste weiss sein. Aber dann sieht man das Koordinatensystem nicht mehr, deshalb hab ich diesmal das Koordinatensystem ueber die Funktion gezeichnet, und nicht wie sonst ueblich die Funktion ueber das Koordinatensystem.

Deine Konstruktion der unstetigen Q-linearen Abbildung von R nach R ist richtig.
Zusaetzlich kann man sogar zeigen, dass der Graph dieser Funktion dicht in der Ebene liegt (deshalb ist in meiner Abbildung alles weiss).
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Viele weitere Bsp. findet man in der Klasse der linearen Operatoren
auf unendlichdim. Räumen:

Z. B. sind Differentialop. i.a. unbeschränkt.

Oder man denke an den Operator (H-\lambda)^-1 mit \lambda
im stetigen Spektrum von H. Dabei H=-Laplace+V Schrödinger-
operator auf L_2 (R^d) mit periodischem Potential V.
\lambda kann man sich dann als Enegie in einem Festkörperleitungsband vorstellen.

Die Unbeschränktheit (=Unstetigkeit) des obigen Operators
liefert physikalisch gerade die freie Beweglichkeit eines Leitungs-
bandelektrons.

Liebe Grüße
Mario

P.S. H als endl. Matrix geht nicht (ich stelle mal die Frage in den
Raum, warum nicht...)

P.P.S.: Einfacher: V=0 und \lambda>0 wählen...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mario
P.S. H als endl. Matrix geht nicht (ich stelle mal die Frage in den
Raum, warum nicht...)

Fragst du das, weil du es nicht weißt oder weil du uns testen willst? Augenzwinkern
Natürlich geht das nicht, da dann H stetig wäre. Augenzwinkern
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

War mehr als Denkanstoß für die gedacht, die sich mit Spektraltheorie
nicht so gut auskennen und sollte verdeutlichen, dass es im unendlichdim.
eben nicht ausreicht, nur Eigenw. zu untersuchen. Die richtige Antwort
lautet, dass das stetige Spektrum von Matrizen leer ist, d.h. gar kein
entsprechendes \lambda existiert. Sollte kein aber kein Test sein,
sondern nur zum Nachdenken anregen...

Liebe Grüße
Mario
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat das mit Spektraltheorie zu tun? Wenn wir von unendlichdimensionalen Räumen reden, dann kann H keine Matrix sein (oder durch eine dargestellt werden). Dazu braucht man keine Spektraltheorie.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Jedenfalls nicht durch eine Matrix mit endlichen Dimensionen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Right. Er hat geschrieben "endl. Matrix". Also wird er wohl das gemeint haben...
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Hab natürlich in diesem Falle Abbildungen auf R^d gemeint,
sonst passt in der Tat nichts. (dxd) Matrizen lassen sich nunmal
üblicherweise so als lin. Abbildungen auffassen. Es ging dabei aber
nicht um den Bezug zum obigen Schrödingerop. sondern nur
um den Kontrast zu endlichdim. Abb., die nur Punktspektrum
haben können. Hab mich wohl nicht ganz verständlich ausgedrückt...

Den Bezug könnte man sicher herstellen, wenn man den
Laplace etwa auf einem geeigneten Gitter diskretisiert und
das Gebiet beschränkt (RB einarbeiten). Ist aber eher was
für Numeriker....

Liebe Grüße
Mario
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »