Gibt es eine Matrix A mit A² = E?

16.09.2008, 18:36

MissMalaika

Gibt es eine Matrix A mit A² = E?

Also im Matheunterricht hatten wir eine Frage gemeinsam angefangen und zwar lautet die: GIBT ES EINE MATRIX A MIT A² = E.
Wir haben sie zum Teil durchgeführt, ich bin einbsischen weiter gekommen, aber jetzt bin ich steckengeblieben und komme nicht mehr weiter. :S
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Hier die Ansaätze in der Schule:

[ a11__a12] * [ a11__a12] = [ 1 0 ]
[ a21__a22] * [ a21__a22] = [ 0 1 ]

das ist die Matrix M. Es ergeben sich also 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

1. A11² + a12 * a21 = 1

2. A11* a21 + a12 * a22 = 0

3. A11 * a21 + a22 * a22 = 0

4. A21 * a12 + a22² = 1

Wir haben die 1. und 4. Gleichung + & - gemacht.

A11² - a22² = 0 \ + a22²
A11² = a22² \ Wurzel ziehen
A11 = a22
V a11 = -a22

Ich glaub dann setzen wir in 2. Gleichung ein.

2. Gleichung: ausklammern

a12 * [ a11 + a22] = 0

Regel: prODUKT GLEICH NULL; WENN FAKTOR GLEICH NUll.

3. Gleichung: ausklammern:

a21 * (a11 + a22) = 0

Beschluss mit Lehrer:

Entweder a12 ungleich 0, a11 = a22, a22 ungleich 0

oder a12 = 0, a11 = a22, a22 = 0

Wir beziehen uns erst auf die untere Zeile (oder)

M_( a11 0]
[ 0 a11]

Lösung: a11 = 1 : ( 1 0 )
_________________(0 1)

oder lösung 2:

( -1 _ 0 )
( 0 -1)

( -1 0 ) ( -1 0 ) = Einheitsmatrix
( 0 -1) * ( 0 -1)

Jetzt sollen wir das aussrechnen

(a11 a12) = (a11 a12)
(a21 -a11) = (a21 -a11)

Also ich weiß nciht wie ich weiter komme.

sorry wegen dieser schreibweise, ich weiß nicht wie man hier tippt.

16.09.2008, 19:00

MissMalaika

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RE: Gibt es eine Matrix A mit A² = E?
hmmmmmm
weiß nciht weiter

16.09.2008, 19:10

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Zitat:

Original von MissMalaika
GIBT ES EINE MATRIX A MIT A² = E.

Deinen Betrachtungen nach zu urteilen geht es eher um

Zitat:

Gib alle 2x2-Matrizen A mit A² = E an.

Dein Aufschrieb ist schon ziemlich chaotisch - ich musste mich schon sehr zwingen, das zu lesen. Es fehlt die ordnende Struktur einer sauberen Fallunterscheidung:

Nach dem Gleichsetzen (oder Substrahieren) von erster und vierter Gleichung gelangst du ja zur Bedingung $\begin{eqnarray*} a_{11}^2 = a_{22}^2 \end{eqnarray*}$ . Das führt zu

1.Fall: $\begin{eqnarray*} a_{11} = a_{22} \end{eqnarray*}$

....
....

2.Fall: $\begin{eqnarray*} a_{11} = -a_{22} \end{eqnarray*}$

....
....

Die Pünktchen entsprechend ausfüllen, mit Rechnungen sowie eventuell nötigen Verzweigungen in weitere Unterfälle. Das fehlt oben, und deswegen hast du wohl auch den Überblick verloren.

16.09.2008, 19:24

Nubler

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formeleditor is your friend

1:= einheitsmatrix

du suchst ne matrix, für die gilt: A²=1

was muss für die determinante der matrix gelten und was folgt daraus?

17.09.2008, 18:54

MissMalaika

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Hilfe
Das mit a11 hatte ich ja oben schon stehen.
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Beweis:

Wir haben die 1. und 4. Gleichung + & - gemacht.

A11² - a22² = 0 \ + a22²
A11² = a22² \ Wurzel ziehen
A11 = a22
V a11 = -a22

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Ich weiß, es tut mir leid, meine schrift ist soooooo schlimm und ich weiß nicht wir ihr es mit den weißen käschen und so matrix formen schreibt.

meine aufgabe ist es das auzurechenen:::

Jetzt sollen wir das aussrechnen

(a11 a12) = (a11 a12)
(a21 -a11) = (a21 -a11)

Also ich weiß nciht wie ich weiter komme.

17.09.2008, 20:04

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RE: Hilfe
Meine Anregung, klar und deutlich zu sagen, welchen der Teilfälle du gerade gern besprechen willst, ist bei dir auf taube Ohren gestoßen. Also muss wieder mal mühsam herausgelesen werden, was du damit meinst:

Zitat:

Original von MissMalaika
meine aufgabe ist es das auzurechenen:::

Jetzt sollen wir das aussrechnen

(a11 a12) = (a11 a12)
(a21 -a11) = (a21 -a11)

Ich kann nur annehmen, dass du den von mir genannten 2.Fall $\begin{eqnarray*} a_{11}=-a_{22} \end{eqnarray*}$ meinst. Na in dem Fall ist

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} a_{11}^2+ a_{12}a_{21} & 0 \\ 0 & a_{11}^2+a_{12}a_{21} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. es ist lediglich noch $\begin{eqnarray*} a_{11}^2+ a_{12}a_{21}=1 \end{eqnarray*}$ zu erfüllen. Eine Gleichung für 3 Variable, da hast du zwei Freiheitsgrade. Mit anderen Worten: Du kannst geeignete zwei der drei Variablen als (fast) frei wählbare Parameter deklarieren, und die dritte dann mit diesen zwei Parametern darstellen.

17.09.2008, 21:21

Huggy

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RE: Hilfe
Bei deiner Aufgabe gibt es drei Übel:

(1) Deine standhafte Weigerung, mit Hilfe des Formeleditors lesbare Gleichungen zu produzieren.
(2) Die Verwendung indizierter Größen. Das ist normalerweise bei Matrizen angebracht. Hier wird die Sache aber mit einfachen Variablen übersichtlicher.
(3) Zwei deiner vier Ausgangsgleichungen sind schlicht falsch, was aber vermutlich nur Schreibfehler sind.

Gesucht wird eine Matrix mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das führt zu den Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2)\quad a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3)\quad a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4)\quad a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22}=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche mal die Gleichungen (2) und (3) mit deinen Gleichungen.

Nun schreibe ich das mal übersichtlicher mit einfachen Variablen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u & v \\ x& y\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} u & v \\ x & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1)\quad u^2+vx=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2)\quad uv+vy=v(u+y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3)\quad xu+yx=x(u+y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4)\quad xv+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Bei den Gleichungen (2) und (3) muss in der Produktschreibweise jeweils mindestens einer der Faktoren 0 sein. Daraus ergeben sich zwei Fälle:

a) v = 0 und x = 0
b) u + y = 0

a) ergibt $\begin{eqnarray*} \quad u^2=1\quad und \quad y^2=1\quad also \quad u=\pm 1\quad und \quad y=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Das ergibt schon mal 4 verschiedene Matrizen A, die die Aufgabe erfüllen, wie man leicht nachrechnet.

b) führt zu $\begin{eqnarray*} y=-u\quad und \quad u^2+vx =1 \end{eqnarray*}$

Das ergibt eine Vielfalt weiterer Lösungen, die auch schon in dem Beitrag von Arthur auftauchen, weil keine weitere Bedingungen zu erfüllen sind. Diese Lösungsvielfalt lässt sich nicht weiter einengen.

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