Formel umschreiben?

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16.09.2008, 20:14	BennyEDDT	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel umschreiben? Hallo, ich habe mich angemeldet um bei euch mal ein bisschen Rat zu suchen. An sich ist die Mathematik so logisch, doch manchmal kann ich es auf den ersten Blick nicht verstehen. Unser Thema ist gebrochen - rationale Funktionen. Ich soll überprüfen ob folgende Gleichung ganzrational ist. Folglich wollte ich die Polynomdivison anwenden. Jedoch habe ich keine Ahnung wie man das mit Doppelrüchen anstellen soll. Umschreiben? Aber wie? Normale Polynomdivison ist kein Problem. Hier die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x-2}{x}+2} \end{eqnarray}$ Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt. Benny
16.09.2008, 20:16	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Du kannst die Brüche im Nenner zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen und addieren. Und dann den folgenden Satz anwenden: Die Division durch eine Zahl ist dasselbe wie die Multiplikation mit dem Kehrwert.
16.09.2008, 20:22	BennyEDDT	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war ja eine Blitzantwort Na dann wollen wir mal schauen wie weit ich mit der Gleichung komme. An den Satz erinnere ich mich natürlich, ich komme leider nur nie auf den Ansatz, dass man das so machen könnte. Wenn es mir jemand sagt, erscheint es mir total logisch. Meine Idee $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^{-1}}{\frac{x}{x}\frac{2}{x}+2 } \end{eqnarray}$ Das sieht aber leider total falsch aus :/ Wie geht man da ran? An solche Umformungen? Benny
16.09.2008, 20:25	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung des Zähler bringt eigentlich nichts, den kann man so als Bruch stehen lassen. Beim Nenner meinte ich Folgendes: Du kannst (x-2)/x und 2 = 2/1 addieren, wenn Du die 2/1 mit x erweiterst: $\begin{eqnarray} \frac{2}{1} = \frac{2x}{x} \end{eqnarray}$ Und jetzt die Brüche addieren.
16.09.2008, 20:29	BennyEDDT	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{3x-2}{2x}} \end{eqnarray}$ ???
16.09.2008, 20:33	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, man addiert Brüche, indem man die Zähler addiert: $\begin{eqnarray} \frac{x - 2}{x} + \frac{2x}{x} = \frac{x - 2 + 2x}{x} = \frac{3x - 2}{x} \end{eqnarray}$ (1/4 und 2/4 sind 3/4 und nicht 3/8) Übrigens fehlt bei Deiner vorigen Umformung noch ein Minuszeichen zwischen x/x und 2/x.
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16.09.2008, 20:55	BennyEDDT	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, mensch das ist so tierisch einfach und ich komm nicht drauf. Ich muss irgendwann mal geschlafen haben. Wenn ich das nun umgestellt habe, wie führe ich eine Polynomdivison mit Doppelbrüchen durch? Werde mich gleich hinlegen und dem Problem morgen nochmal annehmen. Benny
16.09.2008, 20:59	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch noch die Umformung machen nach dem Satz "Die Division durch eine Zahl entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert". $\begin{eqnarray} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \end{eqnarray}$ Dann steht da nur noch ein einfacher Bruch.
16.09.2008, 21:06	BennyEDDT	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, also $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^{-1}{x}}{3x-2} \end{eqnarray*}$ Damit sollte eine Polynomdivison ja möglich sein
16.09.2008, 21:12	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, Du formst irgendwie nicht ordentlich genug um. Der Bruch lautet, nachdem man den Nenner umgeschrieben hat, ja so: $\begin{eqnarray} \frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{3x - 2}{x}} \end{eqnarray}$ (wie gesagt, 1/x solltest Du nicht als Potenz schreiben) Jetzt den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{3x - 2} = \frac{x}{x(3x - 2)} \end{eqnarray}$ Und jetzt kürzen. // edit: Sorry, Dein Ergebnis ist natürlich korrekt -- aber die Schritt-für-Schritt-Umformungen sind sicher übersichtlicher. Du hättest wahrscheinlich übersehen, dass der Zähler Deines Bruches 1 ist.

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