Mengen

16.09.2008, 21:25

Musti

Mengen

Hallo ich hatte heute Vorkurs Mathematik.
Da der Professor nicht sehr weit kam, habe ich jetzt beim Übungsblatt ein paar Fragen.

Die erste Frage:

Zeige für beliebige Mengen A,B,C gilt:

a) $\begin{eqnarray*} A\times (B\cup C)=A\times B \cup A\times C \end{eqnarray*}$

Was bedeutet dabei das Symbol $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ . Das kenne ich nur im Bezug auf das Vektorprodukt doch weiß ich nicht was es bei Mengen so wirklich bedeutet.

b) Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} A=\varnothing \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B={\varnothing} \end{eqnarray*}$

Berechne $\begin{eqnarray*} C=P(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=P(B) \end{eqnarray*}$ .
Was ist denn $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ das habe ich auch so noch nicht gehört.

Das sind so bislang meine Fragen.

Hoffe ihr könnt mich aufklären.

Danke

16.09.2008, 21:29

mYthos

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Das erste Symbol ist der Durchschnitt. Das andere die Schreibweise für die Potenzmenge (d.i. die Menge aller Teilmengen), dabei bin ich mir allerdings nicht ganz sicher. Vielleicht weiss wer anderer noch mehr dazu.

mY+

16.09.2008, 21:35

Musti

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Komisch, meinst du wirklich $\begin{eqnarray*} \times=\cap \end{eqnarray*}$ .
Denn das hat der Prof heute, vermutlich wegen Zeitmangel nicht eingeführt und außerdem steht auf dem Übungszettel auch dieses $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Zeichen.

Z.b bei der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A\times (B\cap C)=A\times B \cap A\times C \end{eqnarray*}$

Also du sagst $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

16.09.2008, 21:36

system-agent

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Wenn du Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hast, dann ist
$\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)\quad :\quad a\in A\text{ und }b\in B\} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal P (A) \end{eqnarray*}$ ist dann meist wirklich die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gemeint.

16.09.2008, 21:38

Musti

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Höre Potenzmenge zum ersten Mal, könntest du das vielleicht so erläutern wie du das andere erklärt hast?

16.09.2008, 21:40

system-agent

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Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} \mathcal P (A)=\{M\quad:\quad M\subset A\} \end{eqnarray*}$ .

16.09.2008, 21:48

Musti

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Ok, soweit habe ich es verstanden.

Nur wie zeige ich das ganze?

Nehmen wir das erste Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A\times (B\cup C)=A\times B \cup A\times C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in A\times (B\cup C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in (B\cup C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \vee x\in C \end{eqnarray*}$

Laut Distributivgesetz gilt:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \vee x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A\times B \cup A\times C \end{eqnarray*}$

Habe ich das jetzt so richtig verstanden?

16.09.2008, 21:53

system-agent

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Willst du die Gleichheit zweier Mengen beweisen, also dass $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ gilt, zeigst du zuerst dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und danach dass $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall:
Zeige zunächst $\begin{eqnarray*} A\times(B\cup C)\subset (A\times B)\cup(A\times C) \end{eqnarray*}$
Sei also $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in A\times(B\cup C) \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in B\cup C \end{eqnarray*}$ . Nun kannst du weitermachen. Begründe, wieso dann $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in(A\times B) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in(A\times C) \end{eqnarray*}$ gilt [es ist eigentlich nur nochmal schön aufschreiben Augenzwinkern

].

Und danach musst du $\begin{eqnarray*} (A\times B)\cup(A\times C)\subset A\times(B\cup C) \end{eqnarray*}$ ähnlich zeigen und die Behauptung folgt.

16.09.2008, 22:03

Musti

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Ich mache Mal an deiner Stelle weiter:

$\begin{eqnarray*} x_1 \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \in (B\cup C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \in B \vee x_2\in C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in B \vee x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=\{x_1,x_2\}\in (A\times B)\cup (A\times C) \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

Falls es stimmen sollte wäre ich unehrlich wenn ich sagen würde, dass ich es verstanden habe.

Das Problem ist dass ich beim beweisen von Mengengleichheiten immer nur $\begin{eqnarray*} x\in A\times (B\cup C) \end{eqnarray*}$ genommen habe und nicht $\begin{eqnarray*} x=\{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$ . Wieso hast du das so gemacht?
Irgendwie verstehe ich das leider nicht... unglücklich

16.09.2008, 22:17

mYthos

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Ja, sorry, tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ das Zeichen für das kartesische Produkt zweier Mengen, also für die Menge von geordneten Zahlenpaaren ...

Ich glaube, für heute lass' ich es gut sein, bevor noch mal ein Unsinn rauskommt .. Big Laugh

mY+

16.09.2008, 22:21

Musti

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Macht nichts Mythos...

Ich bin bislang auch nicht wirklich schlauer geworden unglücklich

17.09.2008, 12:33

system-agent

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Zitat:

Original von Musti

Das Problem ist dass ich beim beweisen von Mengengleichheiten immer nur $\begin{eqnarray*} x\in A\times (B\cup C) \end{eqnarray*}$ genommen habe und nicht $\begin{eqnarray*} x=\{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$ .

Nein, eben nicht. Ich habe nicht die Menge $\begin{eqnarray*} x=\{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$ sondern das geordnete Paar $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ genommen [Stell dir das vor wie ein Vektor, dessen erste Koordinate in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt und dessen zweite Koordinate in $\begin{eqnarray*} B\cup C \end{eqnarray*}$ liegt].

Ich schreibe dir mal die " $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ "-Richtung auf:
Wir starten also mit einem Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A\times(B\cup C) \end{eqnarray*}$ [und sollen zeigen dass es auch in der anderen Menge drin ist].
Da diese Menge ein kartesisches Produkt ist, wohnen darin "Vektoren" mit zwei "Komponenten" [beachte, dass das Wort Vektor falsch ist, aber bequem zur Illustration].
Das bedeutet $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in B\cup C \end{eqnarray*}$ wohnen.
Das heisst $\begin{eqnarray*} x_1\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2\in C \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber genausogut $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)\in A\times B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)\in A\times C \end{eqnarray*}$ , also ganz sicher
$\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in(A\times B)\cup(A\times C) \end{eqnarray*}$ .

Klarer geworden?

17.09.2008, 16:29

WebFritzi

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@Musti:

Zitat:

Original von system-agent
Wenn du Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hast, dann ist
$\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)\quad :\quad a\in A\text{ und }b\in B\} \end{eqnarray*}$ .

Daran siehst du doch, dass ein kartesisches Produkt zweier Mengen aus geordneten Paaren besteht.

@System-Agent: Man braucht hier nicht beide Richtungen zu betrachten. Es reichen Äquivalenzumformungen. Außerdem solltest du Klammern setzen.

17.09.2008, 21:17

Musti

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Ja langsam aber sicher begreife ich es.

Dankeschön

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