vollständige Induktion

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siddl Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion
hallo, ich versuch' grad zu versteh'n wie so'ne Induktion abläuft..den Gauß hab ich kapiert usw. nur versteh ich die Vorgehensweise bei der vollst. Ind. nich':

Ich hab so'n Teil

(das Sigma hab ich so hingebaut: ich will beweisen, dass das stimmt denn ich mutmaße, dass es stimmt)

und dann mach ich
(IA)
dann

(IV)
und jetzt kommt's

für das Folgeglied soll's ja jetzt stimmen (ich hoffe der (IA) und die (IV) sind richtig) also

(IS)

und jetzt kapier ich nich ' was ich da zeigen soll! ob der käse am Ende gleich ausseh'n soll wie z.B


???
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das ist leider vom Prinzip her überhaupt nicht richtig. Du verwechselst den Term für den allgemeinen Summanden mit einer Formel für den Summenwert.

Also (2i - 1)² ist der allgemeine Summand der Summe



Aber das ist nicht der Summenwert, d. h. es gilt sicher nicht




Beachte die Definition des Summenzeichens!



Davon abgesehen:

Die Summenschreibweise am Anfang ist nicht korrekt:



Das n steht doch für eine bestimmte natürliche Zahl, z. B. 4. Was soll dann



bedeuten? Also das ist eine "Doppelbelegung", weil Du mit dem Buchstaben gleichzeitig eine Zahl und eine Folge bezeichnest.



// edit:

Die Formel lautet hiernach übrigens

siddl Auf diesen Beitrag antworten »

neuer Versuch:
(erstmal Danke für die wichtigen Details...)

(IA)
(IV)
(ich hatte ein bisschen Hilfe)
(IS)
das müsste soweit stimmen..und jetzt? ..setze ich n+1 für n ein!
also richtig??
..und das war's?
und wo ist der Beweis? verwirrt ?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, jetzt ist die Behauptung zwar nicht mehr falsch, aber der Beweis ergibt trotzdem keinen Sinn.



Wenn Du die Summe



mit dem Summenzeichen schreibst:



dann ist das einfach nur eine kompaktere Darstellung. Also Du stellst die Summe als Summe über einer Folge dar, nämlich über



Aber das ist, wie gesagt, nur eine andere Schreibweise, also keine Aussage, die man beweisen könnte. Eigentlich ist die Schreibweise mit den Auslassungspunkten sowieso „inoffiziell“, deswegen gibt es gar nichts zu beweisen.



Was man beweisen kann ist eine Formel für das Ergebnis der Summation. Wie eben die Gaußsche Summenformel:



Aber eine solche Formel muss man in diesem Fall zuerst (sicher mit viel Mühe) herausfinden. Die Summenzeichen-Schreibweise sagt über das Ergebnis jedenfalls nicht das Geringste aus.



// Vielleicht als Tipp: Verzichte erstmal ganz auf das Summenzeichen. Dann wird wahrscheinlich am besten deutlich, um was es eigentlich geht. Nämlich darum, die Summe auszurechnen. Augenzwinkern
puchioholic Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein funktioniert die Vollständige Induktion so:

1) Induktionsanfang: Man zeigt die Aussage für das n, ab dem die Aussage gelten soll (in den meisten Aufgaben n=1). Das ist dir ja gelungen.
2) Induktionsannahme: man setzt voraus, dass die Aussage für ein bestimmtes n gilt
3) Induktionsschritt: Hier überprüft man, ob die Aussage auch für den Nachfolger, also n+1 gilt. Dabei darf (und soll man!) 2), gegebenenfalls auch 1), verwenden!

Konkret für diesen fall also (Angabe zwecks Korrektheit abgeändert):



IA:


IV: s.o.

IS:



nun kommt die IV zu tragen:



und jetzt kommt eine Umformerei, für die ich (zu dieser Stunde) weder Zeit noch Muße habe und dann solltest du (sofern ich mich nirgendwo vertippt habe) auf



kommen und damit wäre die Aussage für n+1 und damit insgesamt für alle natürlichen Zahlen gezeigt.

Ich hoffe, ich habe dir das Prinzip der Induktion übermitteln können. Sie verläuft einfach immer nach dem selben Schema und ist deshalb ein gern angewandtes Mittel in der Mathematik ^^

lg
siddl Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank euch beiden, Jacques und puchioholic..ihr kriegt beide von mir 'nen Schokokeks..ihr habt mir ganz wichtig weitergeholfen..nicht nur dass ich da ein Ergebnis brauch', ich will's auch kapier'n (sonst macht's kein' Spass) Freude

P.S die Umformerei teste ich gleich...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von puchioholic
Ich hoffe, ich habe dir das Prinzip der Induktion übermitteln können. Sie verläuft einfach immer nach dem selben Schema und ist deshalb ein gern angewandtes Mittel in der Mathematik ^^

Die hohe Kunst des Lehrens ist es, etwas zu vermitteln ohne gleich eine Komplettlösung zu posten. Beachte auch unsere Boardregeln:
Prinzip "Mathe online verstehen!"
puchioholic Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, falls ich gegen die Forumsregeln verstoßen haben sollte. Ich erlebe nur immer wieder, dass der Induktionsschritt - an sich ja keine große Sache - selten verstanden wird, deshalb habe ich ihn hier noch aufgezeigt/erklärt.

Den größten Teil der Arbeit ist ja noch beim Fragensteller geblieben ^^
Puchioholic Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt bin ich registriert ^^

Da ich nicht mehr editieren kann, neuer Post...

Du hast natürlich recht, anhand eines anderen Bsp. wäre es natürlich sinnreicher gewesen, es zu erklären. Um mich von meiner Schuld freizukaufen, poste ich dir einfach noch ein Bsp. ,anhand dessen du im EIGENEN INTERESSE nachprüfen kannst, ob du es auch verstanden hast:

Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen gilt:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von puchioholic
Ich hoffe, ich habe dir das Prinzip der Induktion übermitteln können. Sie verläuft einfach immer nach dem selben Schema und ist deshalb ein gern angewandtes Mittel in der Mathematik ^^

Die hohe Kunst des Lehrens ist es, etwas zu vermitteln ohne gleich eine Komplettlösung zu posten. Beachte auch unsere Boardregeln:
Prinzip "Mathe online verstehen!"


Das war keine Komplettlösung, nur ein Beispiel. Die Aufgabe in diesem Thread war eine andere. Auch wenn es sich am Ende rausgestellt hat, dass es gar keine war... Augenzwinkern
siddl Auf diesen Beitrag antworten »

@Puchioholic
kuckst du:

(IA)
(IV)
(IS)



Danke für die kleine Übung (und die Einweisung natürlich smile )
hab' auch grad 'n kleines Erfolgserlebnis gebraucht... Tanzen
siddl Auf diesen Beitrag antworten »

Gibts irgendwo Übungen wo man sich solche Ausdrücke rausknobl'n muß:



(@Puchioholic kuck mal einen post obendrüber)
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von siddl

Gibts irgendwo Übungen wo man sich solche Ausdrücke rausknobl'n muß


















Die Formeln kann man alle durch Berechnen der ersten Partialsummen herausfinden.
siddl Auf diesen Beitrag antworten »

danke (muss mal kucken wann ich Zeit hab für die Teile)
Freude
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