Lebesgue-Nullmengen im IR^n

20.06.2006, 22:21

Gast0

Lebesgue-Nullmengen im IR^n

Hallo.

Ich lese gerade in einem Buch, dass sich zu jeder Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray*} N \subset U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ finden lässt mit $\begin{eqnarray*} v(U)< \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich dazu aber z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachte, gibt es doch keine offene Menge außer $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ enthält, oder?

20.06.2006, 23:24

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Die Anschauung spielt einem öfter einen Streich...

Sei $\begin{eqnarray*} b(x,r) \end{eqnarray*}$ die offene Kugel mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abzählbar, also gemäß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} = \{ x_1, x_2, \ldots \} \end{eqnarray*}$ . Und nun definieren wir einfach

$\begin{eqnarray*} U := \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} b\left( x_n, \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} \right) \end{eqnarray*}$ .

Sicherlich eine sehr seltsame Menge, wenn man versucht, die sich geometrisch vorzustellen. Aber sie erfüllt deine Forderungen.

20.06.2006, 23:26

Ben Sisko

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RE: Lebesgue-Nullmengen im IR^n
Sind die Inklusionen so gemeint: $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ ? Wenn nicht, würde es natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ selbst erfüllen.

Ansonsten, wenn du eine Menge brauchst, die Maß > 0 hat, würde es $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Q} \cup ]-\frac{\epsilon}{3},\frac{\epsilon}{3}[) \end{eqnarray*}$ tun, oder?

Edit: Korrektur und zu langsam...

21.06.2006, 01:39

Gast0

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Sind die Inklusionen so gemeint: $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ ? Wenn nicht, würde es natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ selbst erfüllen.

Verstehe ich nicht. Offen bedeutet doch, dass für jeden Punkt aus der Menge eine Umgebung dieses Punktes existiert, die Teilmenge der Menge ist. Und das gibt es bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nirgends.

@Arthur Dent : Aber bei dieser Menge U ist es doch so, dass in jedem Ball um ein $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ auch andere rationale Zahlen liegen, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt. Und damit wäre $\begin{eqnarray*} U=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder nicht? (Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ betrachte ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^n \end{eqnarray*}$ )

21.06.2006, 03:23

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Gast0

Zitat:

Sorry, das hatte ich überlesen. Und hatte mich schon gefragt, was du da suchst...

21.06.2006, 07:05

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Zitat:

Original von Gast0
Aber bei dieser Menge U ist es doch so, dass in jedem Ball um ein $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ auch andere rationale Zahlen liegen

Richtig - macht aber nix. Das Maß einer nichtdisjunkten Vereinigung ist kleiner oder gleich der Summe der Einzelmaße. Und diese Summe ist kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - nachrechnen!!!

Zitat:

Original von Gast0
Und damit wäre $\begin{eqnarray*} U=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

"Oder nicht" ist zutreffend, s.o.

Bleibt nur noch zu zeigen, dass dieses solcherart konstruierte $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich offen ist, aber das ist auch ziemlich einfach.

Nochmal: Lass dich nicht von der Anschauung täuschen. Wenn's immer nur danach gehen würde, dann gäbe es auch keine Nicht-Borelmengen.

21.06.2006, 10:29

Gast0

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Und wie konstruiert man sowas für überabzählbare Mengen, sagen wir die Cantor-Menge?

21.06.2006, 10:49

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Da geht's dann eben nicht mit solchen Vereinigungen. Es gibt kein universelles Konstruktionsrezept, für die Cantormenge helfen aber z.B. Durchschnitte:

Cantor'sches Diskontinuum

21.06.2006, 22:40

Gast0

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Danke!

24.10.2009, 18:47

gast005

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Anschauung vom Beweis
Ok, der Beweis, dass Q in R eine Lebesgue Nullmenge ist, ist kurz und formal fehlerfrei.

ABER: Anschaulich geht das auf keine Kuhhaut. Und ich würde als Antwort gerne mehr als "Bei solchen Themen darfst du halt deiner Anschauung nicht vertrauen" oder ähnliches erhalten.

Folgendes: Es kann kein "freies" offenes Intervall in R geben, dass nicht von der Vereinigung der Kugeln um rationale Punkte erwischt wird, denn jedes offene Intervall enthält (unendlich viele) rationale Punkte. Also sind die einzigen "nicht erwischten" Punkte aus R der folgenden Art:
(a, b) (b, c)

Also zwei aneinanderliegende Kugeln, bei denen genau der (irrationale) Punkt b in der Mitte nicht enthalten ist.
ABER: ist das so, dann sollte die Länge (Volumen) der Vereinigung der Kugeln aus dem Beweis gleich der Länge (Volumen) von R sein. Oder? (Offensichtlich nicht, aber wo ist mein Denkfehler?)

Aber dieser Gedankengang muss offensichtlich falsch sein, denn ordnet man die Intvalle einfach "linear" (hintereinander) an, also genau so wie oben beschrieben:
(a,b)(b,c)(c,d)(d,e)...
bei 0 beginnend, so wäre die Länge der Vereinigung dieser (nun disjunkten) Intervalle auf jeden Fall kleiner als Epsilon. (Zumindest wenn man mit Epsilon/2^(i+2) anfängt, fängt man bei Epsilon/2^(i+1) an, so sollte sich das ganze zu Epsilon aufsummieren, bei Epsilon/2^(i+2) sollte am Ende Epsilon/2 herauskommen, was < Epsilon ist.)

Also, wo liegt oben mein Denkfehler?

mfg

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