eigenartige Gleichung lösen: (3x-5)(x-2)=x-2

eigenartige Gleichung lösen: (3x-5)(x-2)=x-2

(3x-5)(x-2)=x-2

Diese Gleichung soll gelöst werden.

Methode 1: Wenn man alles ausmultipliziert und die Gleichung so äquivalent umformt, dass man die pq-Formel anwenden kann, kommt man auf x=2.

Methode 2: Teilt man durch (x-2) so steht dann da: 3x-5=1. Formt man um, kommt man wieder auf x=2.
ABER man muss ja bei dieser Methode angeben, dass x ungleich 2 sein muss, damit man nicht durch 0 teilt. Somit wäre die Lösungsmenge leer.

Wie kann es sein, dass 2 VERSCHIEDENE Lösungen rauskommen? Ist bei irgend einer Methode ein Fehler? Unser Dozent konnte wusste hier auch nicht wirklich weiter.

Danke im Voraus

Hallo,

Beim Ausschließen der 2 aus der Grundmenge hast Du falsch gedacht:

Man schließt x = 2 für die Umformung aus, d. h. Du darfst Dein Ergebnis 2, das Du dadurch erhalten hast, tatsächlich nicht verwenden.

Aber anschließend musst Du den Fall x = 2 nochmal prüfen, denn es kann ja sein, dass Du mit der 2 gerade eine Lösung ausgeschlossen hast. Und dabei kommst Du eben auf

$\begin{eqnarray*} L=\{ 2 \} \end{eqnarray*}$

Keine HS-Mathe! Bitte im richtigen Forum schreiben. Es geht deswegen nicht langsamer/schneller.

*** verschoben ***

mY+

@ mYthos
Tur mir leid, das war keine Absicht. Aber da dieses Problem bei einer Uni-Vorlesung zu Tage kam, dachte ich poste ich es hier rein.

Zur Aufgabe:
hmm, so weit so gut. Aber ist es denn dann tatsächlich eine äquivalente Umformung? Streng gesehen eig. nicht, denn die lösungsmengen wären ja unterschiedlich, was mit der Definition "Äquivalenz" nicht übereinstimmen würde.
Oder sehe ich das falsch?

Na ja, es ist schon eine Äquivalenzumformung. Nur schränkt man eben zuerst die Grundmenge ein auf

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{ 2 \} \end{eqnarray*}$

Und prüft dann später die ausgeschlossene Zahl separat.

@Jaques: Das finde ich nicht so zielführend und auch verwirrend. Was man könnte, ist mit Fallunterscheidung arbeiten, das ist aber hier nicht nötig, wie man gleich sieht.

(3x - 5)(x - 2) = x - 2

Diese Gleichung ist quadratisch und hat demgemäß zwei Lösungen (auch wenn es durchaus auch einmal eine Doppellösung geben kann Big Laugh

)

Auf Null bringen und (x - 2) ausklammern!

(3x - 5)(x - 2) - (x - 2) = 0

(x - 2)(3x - 6) = 0

Und jetzt jeden einzelnen Faktor Null setzen. Dabei sehen wir, dass es tatsächlich zwei Lösungen gibt, wenn auch in diesem Fall eine Doppellösung!

mY+

Zitat:

Original von waynejuckts147
Zur Aufgabe:
hmm, so weit so gut. Aber ist es denn dann tatsächlich eine äquivalente Umformung? Streng gesehen eig. nicht, denn die lösungsmengen wären ja unterschiedlich, was mit der Definition "Äquivalenz" nicht übereinstimmen würde.
Oder sehe ich das falsch?

Es kommen nicht zwei verschiedene Lösungsmengen raus. Bei der zweiten Methode ist die Division durch (x - 2) in der Tat keine Äquivalenzumformung auf der gegebenen maximalen Definitionsmenge - erkennbar daran, dass man für diesen einen Schritt die Definitionsmenge einschränken muss, weil man sonst durch 0 dividieren würde, was natürlich keine Äquivalenzumformung ist. Schränktest du die Definitionsmenge bei Methode 1 in gleicher Weise ein, erhieltest du ebenfalls eine leere Lösungsmenge.

Das Zauberwort, tatsächlich eine Kette von Äquivalenzumformungen auf der gleichen Definitionsmenge zu erhalten, ist die von Mythos angeführte Fallunterscheidung.

Mir scheint aber, dass bei dir zwei verschiedene Begriffe durcheinandergehen: Da ist einmal der Begriff zweier äquivalenter Gleichungen ( $\begin{eqnarray*} (3x - 5)(x - 2) = x - 2 \Leftrightarrow x = 2 \end{eqnarray*}$ - das gilt für jede gängige Grund- bzw. Definitionsmenge). Zum anderen ist da der Begriff der Äquivalenzumformung - das sind wohldefinierte Umformungen, die aus einer Gleichung eine weitere äquivalente Gleichung erzeugen - was wirklich streng schrittweise zu erfolgen hat. Und die Division durch 0 wie im Falle oben ist eben keine Äquivalenzumformung - so wenig wie beispielsweise die Multiplikation mit 0 oder das Quadrieren.

Zitat:

Original von TheWitch

Zitat:

Original von waynejuckts147
Zur Aufgabe:
hmm, so weit so gut. Aber ist es denn dann tatsächlich eine äquivalente Umformung? Streng gesehen eig. nicht, denn die lösungsmengen wären ja unterschiedlich, was mit der Definition "Äquivalenz" nicht übereinstimmen würde.
Oder sehe ich das falsch?

Es kommen nicht zwei verschiedene Lösungsmengen raus. Bei der zweiten Methode ist die Division durch (x - 2) in der Tat keine Äquivalenzumformung auf der gegebenen maximalen Definitionsmenge - erkennbar daran, dass man für diesen einen Schritt die Definitionsmenge einschränken muss, weil man sonst durch 0 dividieren würde, was natürlich keine Äquivalenzumformung ist. Schränktest du die Definitionsmenge bei Methode 1 in gleicher Weise ein, erhieltest du ebenfalls eine leere Lösungsmenge.

Das Zauberwort, tatsächlich eine Kette von Äquivalenzumformungen auf der gleichen Definitionsmenge zu erhalten, ist die von Mythos angeführte Fallunterscheidung.

Mir scheint aber, dass bei dir zwei verschiedene Begriffe durcheinandergehen: Da ist einmal der Begriff zweier äquivalenter Gleichungen ( $\begin{eqnarray*} (3x - 5)(x - 2) = x - 2 \Leftrightarrow x = 2 \end{eqnarray*}$ - das gilt für jede gängige Grund- bzw. Definitionsmenge). Zum anderen ist da der Begriff der Äquivalenzumformung - das sind wohldefinierte Umformungen, die aus einer Gleichung eine weitere äquivalente Gleichung erzeugen - was wirklich streng schrittweise zu erfolgen hat. Und die Division durch 0 wie im Falle oben ist eben keine Äquivalenzumformung - so wenig wie beispielsweise die Multiplikation mit 0 oder das Quadrieren.

Ah, okay.

Das heißt, wenn ich beim Umformen eine Division mit einer Variable (in unserem Beispiel x-2) vonehme und x genau den Wert annimmt, der diesen Term auf 0 bringen würde, so ist es keine Äquivalenzumformung und ich muss nach einer anderen Methode suchen x auszurechnen.

Habe ich das so im Goben richtig verstanden?

Ja. Oder eben mit Fallunterscheidungen arbeiten.

eigenartige Gleichung lösen: (3x-5)(x-2)=x-2

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