Stetigkeit |
| 26.05.2004, 16:19 | Sar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Stetigkeit ich grübel nun seit zwei Tagen an folgender Aufgabe: Untersuchen sie die Funktion f:R->R, gegeben durch auf Stetigkeit. Meine Vermutung ist, das diese Funktion nur in x=1 stetig ist, aber wie beweise ich das? MfG :-D |
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| 26.05.2004, 16:23 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Verwende, dass es zu jeder Zahl x1 aus Q eine Folge aus R\Q gibt, die gegen x1 konvergiert bzw dass es zu jeder Zahl x2 aus R\Q eine Folge aus Q gibt, die x2 konvergiert. Damit sollte sich die Unstetigkeit in allen Punkten außer 1 zeigen lassen und die Stetigkeit in 1 dürfte nicht schwer sein. |
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| 26.05.2004, 16:37 | Sar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, warum ist die Funktion dann aber unstetig? 
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| 26.05.2004, 16:43 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kennst du denn die Folgendefinition der Stetigkeit? Die Funktion f heißt an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs X stetig, wenn für jede Folge (x_n) aus X, die gegen x0 strebt, immer f(x_n)->f(x0) konvergiert. Wenn du eine Folge wählst, wie ich es beschrieben habe, wird die Bildfolge für eine Stelle ungleich 1 nicht gegen den Funktionswert konvergieren, wie man leicht sieht. |
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| 26.05.2004, 16:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und auch mit der epsilon-delta-Definition geht es hier leicht. Man kann nämlich bei der Stelle x0=1 einfach delta=epsilon wählen. |
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| 26.05.2004, 17:02 | Sar | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, das mit der Definition ist mir ja klar, aber so richtig warum das nun nicht stetig an allen anderen Stellen ist, habe ich nicht kapiert 
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| 26.05.2004, 17:06 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich mache es dir mal vor für die rationalen Zahlen: Sei x0 aus Q\{1}. Es ist f(x0)=x0. Ich wähle eine Folge (x_n) aus R\Q, mit lim x_n=x0 (diese gibt es, das habe ich dir vorhin geschrieben). Es gilt für alle x_n: f(x_n)=1 denn alle x_n sind ja irrational. Damit gilt lim f(x_n)=1 und das ist ungleich x0 und damit auch ungleich f(x0) und deshalb ist f an allen rationalen Punkten unstetig. Analog geht es für ein beliebiges x0 aus R\Q, das müsstest du jetzt schaffen. |
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| 26.05.2004, 17:13 | Sar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar vielen dank |
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