Fibonacci & Formale Potenzreihe

21.06.2006, 13:05

IE-Student

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Fibonacci & Formale Potenzreihe

Gegeben ist die Fibonacci - Reihe, dann steht darunter, dass man ja dazu die formale Potenzreihe bilden kann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~F_nx^{n} = F(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt die erste Aufgabenstellung:

a) wenden sie die Rekursionsgleichung mit $\begin{eqnarray*} F_0 = 0, F_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_n = F_{n-1} + F_{n-2} (n\geq 2) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} F(x) = F_0 + F_1x + \sum_{n=2}^\infty~F_nx^{n} \end{eqnarray*}$ an.

b)

Lösen sie die gewonnene Gleichung nach x auf.

(Hoffe ihr erkennt, dass ich mit den Zahlen und dem n nach F Indizes meine... weiß nich wie ich die erstellen kann. Die b) hab ich nur der Vollständigkeit halber noch dazugeschrieben.)

So, ich hab mir überlegt, dass ich ja eigentlich bei der a) nur Fn einsetzen muß in die F(x). Aber dann steht da bei mir ja nix anderes als:

$\begin{eqnarray*} F(x) = F_0 + F_1x + \sum_{n=2}^\infty~(F_{n-1} + F_{n-2})x^{n} \end{eqnarray*}$

macht das Sinn? Wenn ja, wie mach ich weiter? Wenn nein, was soll ich stattdessen machen? Sorry, aber ich steh voll aufm Schlauch... Bitte um Hilfe! Gott

Gott

edit: Latex-Codes verbessert. $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ schreibt man mit "F_n". (MSS)

21.06.2006, 13:11

AD

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Das ganze ist sicherlich so gedacht, dass du jetzt die Summe(n) rechts eliminierst und durch irgendwelche Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ ersetzt.

(b) verstehe ich nicht - soll da nicht eher nach F(x) aufgelöst werden?

21.06.2006, 13:11

Mathespezialschüler

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Verschoben

Soll in Aufgabe b) vielleicht stehen, dass man die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ auflösen soll? Du kannst aus deiner entstanden Reihe wieder $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ machen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}~(F_{n-1}+F_{n-2})x^n=x\cdot \sum_{n=2}^{\infty}~F_{n-1}x^{n-1}+x^2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}~F_{n-2}x^{n-2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du den Index verschieben und dann guck mal genau hin!

Gruß MSS

21.06.2006, 13:32

IE-Student

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F(x) bei der b), klar, ihr hattet recht.

Index verschieben, was sehe ich dann? verwirrt

verwirrt

21.06.2006, 13:43

IE-Student

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=> $\begin{eqnarray*} F(x) = F_0 + F_1 x + x \cdot \sum_{n=1}^\infty ~F_n x^{n} + x^{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty ~F_n x^{n} \end{eqnarray*}$

Soweit okay..?

21.06.2006, 14:07

AD

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Ja. Und wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray*} F_0=0 \end{eqnarray*}$ beachtest, kannst du die erste Summe rechts auch gleich bei n=0 statt bei n=1 beginnen lassen...

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21.06.2006, 14:51

IE-Student

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Kann ich diese Ersetzung machen, bzw. ist das sinnvoll? $\begin{eqnarray*} F_0 + F_1 x = 0 + x = x \end{eqnarray*}$

Ich kann dir mit 1. und rechts leider nicht folgen... wie kann ich denn mit $\begin{eqnarray*} F_0 \end{eqnarray*}$ was anfangen bei einer Summe? Also warum kann ich bei n = 1 beginnen lassen?

Danke soweit, ihr seid mir ne große Hilfe!

21.06.2006, 15:21

AD

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Zitat:

Original von IE-Student
Kann ich diese Ersetzung machen, bzw. ist das sinnvoll? $\begin{eqnarray*} F_0 + F_1 x = 0 + x = x \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von IE-Student
Ich kann dir mit 1. und rechts leider nicht folgen... wie kann ich denn mit $\begin{eqnarray*} F_0 \end{eqnarray*}$ was anfangen bei einer Summe? Also warum kann ich bei n = 1 beginnen lassen?

Damit du die Definition von $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ passend einsetzen kannst. Und bei der beginnt die Summe bei n=0 .

21.06.2006, 15:48

IE-Student

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$\begin{eqnarray*} F(x) = x + x^{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty~F_n x^{n} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} F_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist könnte man die Summen auch bei n = 1 beginnen lassen, oder?

21.06.2006, 15:51

AD

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Wie kommst du jetzt vom richtigen

Zitat:

Original von IE-Student
=> $\begin{eqnarray*} F(x) = F_0 + F_1 x + x \cdot \sum_{n=1}^\infty ~F_n x^{n} + x^{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty ~F_n x^{n} \end{eqnarray*}$

auf das falsche

Zitat:

Original von IE-Student
$\begin{eqnarray*} F(x) = x + x^{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty~F_n x^{n} \end{eqnarray*}$

?

verwirrt

21.06.2006, 15:55

IE-Student

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Ganz einfach, ich hab mehrmals angedeutet dass ich

Zitat:

Ja. Und wenn du jetzt noch F_0=0 beachtest, kannst du die erste Summe rechts auch gleich bei n=0 statt bei n=1 beginnen lassen...

nicht verstanden hab... was willst du mir damit sagen? Ich hab es einfach gedeutet als: F_0 = 0, also kann man n=1 zu n=0 machen weil wenn man zur Summe 0 addiert bleibt diese gleich. Dann sind die beiden Summen gleich und x * x^2 ist eben x^3 ...

21.06.2006, 15:57

AD

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x + x^2

geschockt

21.06.2006, 16:02

IE-Student

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Uups

Big Laugh

Klar... Also lautet das Endergebnis doch hoffentl.:

$\begin{eqnarray*} F(x) = x + (x + x^{2} ) \cdot \sum_{n=0}^\infty~F_n x^{n} \end{eqnarray*}$

Was soll ich denn jetzt in der b) machen? is doch schon nach F(x) aufgelöst ---

21.06.2006, 16:09

AD

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So ganz durch bist du noch nicht: Man könnte das ganze ja auch noch als

$\begin{eqnarray*} F(x) = x+(x+x^2)F(x) \end{eqnarray*}$

schreiben - wozu sonst, denkst du, wurde die ganze Umformerei gemacht!!!

21.06.2006, 16:38

IE-Student

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Gott

Gott

Gott

WOW... danke vielmals!

24.01.2007, 16:05

IE-Student2

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Auch von mir großen Dank, diese Beiträge haben mir sehr weitergeholfen.!!

thnx

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