Tangentenproblem

21.06.2006, 15:05

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

Tangentenproblem

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{3x²-8x}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

Es existieren genau zwei Tagenten an den Graphen der Funktion f, die durch den Koordinatenursprung O(0;0) verlaufen. Ermitteln sie rechnerisch die Gleichungen der Tangenten.

Eine Tangente habe ich. Diese ist y=-2x. Aber wie komme ich auf die 2. Tangente.
Achja f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{6x-8}{(x-2)²} -\frac{6x²-18}{(x-2)³} \end{eqnarray*}$

21.06.2006, 15:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem
Ich habe $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{6x-8}{(x-2)^2} -\frac{6x^2-16x}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$
Wie hast du denn die Tangente bestimmt?

EDIT: Fehler korrigiert

21.06.2006, 15:31

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem
Hast recht. Habe mich nur verschrieben. Habe für x=0 eingesetzt in f'(x) und damit den Anstieg mt zu bestimmen. Danach habe ich diesen genommen und nochmal den Punkt O genommen um n zu bekommen wo dann 0 rauskommt also 0= -2*0+n.

21.06.2006, 15:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem
OK. Das haut in diesem Fall hin, weil f(x) selbst durch den Koordinatenursprung läuft. Jetzt geht es noch um den 2. Punkt. Nehmen wir an, dieser hat die Koordinaten (x0 | f(x0)). Nun brauchst du die allgemeine Tangentengleichung t(x) für eine Tangente an die Funktion f(x) durch den Punkt (x0 | f(x0)). Kannst du diese aufstellen?

Damit man mal ein Bild sieht:

22.06.2006, 10:18

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

t(x) müsste so sein: t(x)= $\begin{eqnarray*} (\frac{6x0-8}{(x0-2)²} - \frac{6x0²-16}{(x0-2)³}) x + \frac{3x0³+6x0²-16x0}{(x-2)³} \end{eqnarray*}$

Bin mir da aber nicht ganz sicher, ob es stimmt.

22.06.2006, 11:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich habe $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{6x-8}{(x-2)^2} -\frac{6x^2-16}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich auch noch einen Fehler drin, richtig ist:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{6x-8}{(x-2)^2} -\frac{6x^2-16x}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$
Und bevor man weiter rechnet, sollte man diesen Term noch zusammenfassen.

Für die Tangentengleichung empfehle ich, diese Form zu nehmen:
$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$
Da die Ableitung an der Stelle x_0 einsetzen und schauen, für welches x_0 dann t(0) = 0 wird.

Anzeige

23.06.2006, 07:35

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem

Zitat:

Original von klarsoweit
Für die Tangentengleichung empfehle ich, diese Form zu nehmen:
$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$
Da die Ableitung an der Stelle x_0 einsetzen und schauen, für welches x_0 dann t(0) = 0 wird.

Irgendwie verstehe ich nicht warum ich hier für x0, f' einsetzen soll?

23.06.2006, 08:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenproblem
OK. Der Satz "Da die Ableitung an der Stelle x_0 einsetzen" ist etwas mißverständlich. Gemeint war: f'(x0) bestimmen und das einsetzen.
Deshalb nochmal ein kleiner Review:
Irgendwo gibt es eine Stelle x0 und dazu passend ein Punkt auf dem Funktionsgraph. Der hat also die Koordinaten (x0 | f(x0)). An die Funktion wird nun eine Tangente durch diesen Punkt gelegt. Und für diese Tangente suchen wir die Tangentengleichung. Und die sieht in ihrer allgemeinen Form so aus:
$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

Du brauchst also f(x0) und f'(x0). Die mußt du in die Tangentengleichung einsetzen und dann schauen, für welches x_0 t(0) = 0 wird.

Im Prinzip hattest du das ja auch so gemacht, nur der Weg war etwas anders. Nur leider war in der Ableitung noch ein kleiner Fehler und einmal hast du x statt x0 im Nenner.

24.06.2006, 10:22

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

So habe mal die Gleichung erstellt. $\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{6x0-8}{(x0-2)^2} -\frac{6x0^2-16x}{(x0-2)^3})*(x-x0) + \frac{3x²-8x}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

Meine frage ist jetzt noch: Was muss ich für x einsetzen? 0?

24.06.2006, 10:27

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Rest fällt natürlich noch die 0 bei dem x.

Und wenn ich mir jetzt den Graphen anschaue hat dieser nullstellen bei x1=0 und x2=0,879.

24.06.2006, 13:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zauberli
Und wenn ich mir jetzt den Graphen anschaue hat dieser nullstellen bei x1=0 und x2=0,879.

verwirrt

Den Graphen von welcher Funktion? Von der Tangente? Das ist eine Gerade und die hat nur eine Nullstelle.

Also die Tangentengleichung haben wir jetzt:
$\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{6x_0-8}{(x_0-2)^2} -\frac{6x_0^2-16x_0}{(x_0-2)^3}) \cdot (x-x_0) + \frac{3x_0^2-8x_0}{(x_0-2)^2} \end{eqnarray*}$
Nochmal zur Erinnerung: das ist die Tangente an den Punkt (x0 | f(x0)). Jetzt soll die Tangente durch den Ursprung laufen. x0 muß also so gewählt werden, daß t(0)=0 ist. Also schreibe mal t(0) hin (setze also für x Null ein) und setze das dann Null.

PS: wenn du registrierst wärest, könntest du eigene Beiträge editieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2006, 14:11

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da kommt keine Gerade raus. Und wenn ich jetzt alles so wie du es geschrieben hast bekomme ich 2 Nullstellen raus. x1=0 und x2=12,66.

24.06.2006, 14:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib mal, was du gerechnet hast. Für x2 habe ich was anderes.

24.06.2006, 14:44

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hatte am Anfang den ersten Teil zusammen gefasst. So komme ich auf
$\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{24x_0+16}{(x_0-2)^3} ) \cdot (x-x_0) + \frac{3x_0^2-8x_0}{(x_0-2)^2} \end{eqnarray*}$ .

Danach für x=0 eingesetzt und dann nochmal alles ausgerechnet. So komme ich auf $\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{-24x_0²-16x_0}{(x_0-2)^3} ) + \frac{3x_0^2-8x_0}{(x_0-2)^2} \end{eqnarray*}$ .

Hatte dies dann im Taschenrechner eingegeben und mir dann den Graphen angeschaut und ihn dann ausrechenen lassen wo die Nullstellen liegen. Aber ich mach es mal rechnerisch. Würde jetzt noch mal den einen Term mit(x_0-2) erweitern um dann zusammen zu fassen. So würde ich dann auf $\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{-24x_0²-16x_0+3x_0³-8x_0²-6x_0²+16x_0)}{(x_0-2)^3} ) \end{eqnarray*}$ kommen. Zusammengefasst wäre das $\begin{eqnarray*} t(x)=(\frac{-38x_0²+3x_0³}{(x_0-2)^3} ) \end{eqnarray*}$ .Zur NST-Berechnug habe ich dann den Zähler genommen und 0 gesetzt. Also so 0=3x0³-38x0². Dann einmal x0 ausgeklammert daher einmal 0 als Nullstelle und den anderen Teil mit der Forme(weis jetzt nicht wie die heißt)l ausgrechnet die man in der 8.Klasse lernt. So komme ich dann auf x2=12,66.

24.06.2006, 20:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du wohl beim Zusammenfassen einen Fehler gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{6x_0-8}{(x_0-2)^2} -\frac{6x_0^2-16x_0}{(x_0-2)^3} = \frac{(6x_0-8) \cdot (x_0-2) - (6x_0^2-16x_0)}{(x_0-2)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{6x_0^2 -12x_0 -8x_0 +16 - 6x_0^2 +16x_0}{(x_0-2)^3} = \frac{-4x_0 +16}{(x_0-2)^3} \end{eqnarray*}$

24.06.2006, 20:34

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist t(x) alles zusammengefasst: $\begin{eqnarray*} t(x)= \frac{-10x_0² +3x_0³}{(x_0-2)^3} \end{eqnarray*}$

Damit wäre x1=0 und x2=10/3.

Müsste jetzt stimmen.

EDIT: Latex korrigiert.

24.06.2006, 22:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein formaler Fehler:
Es ist $\begin{eqnarray*} 0 = t(0) = \frac{-10x_0² +3x_0³}{(x_0-2)^3} \end{eqnarray*}$

Ansonsten ok. Und so sieht es aus:

24.06.2006, 23:03

Zauberli

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Grafik ist aber ein Fehler. Den 9/8 ist keine Tagente von t(x) sondern (10/3)x.

25.06.2006, 11:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Grrr.

böse

Ich frage mich, was ich dir eigentlich die ganze Zeit erklärt habe.
In mühevollster Kleinarbeit haben wir mit x0 = 10/3 die Stelle gefunden, so daß die Gerade durch (0|0) und (10/3, f(10/3)) obendrein auch Tangente an f ist. Die Steigung der Tangente ist f'(10/3). Aber von mir aus kann ich die Gerade g(x) = 10x/3 auch noch einzeichnen.

Also ich würde nicht sagen, daß g eine Tangente ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »