Gleichheit von komisch aussehenden Sachen

21.06.2006, 21:12	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von komisch aussehenden Sachen Hallo! Ich soll folgendes beweisen: $\begin{eqnarray} \int \limits_0^\infty\frac{x}{e^x-1}dx=\sum_{n=1}^\infty\int \limits_0^\infty e^{-nx}xdx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ . Die Gleichheit des zweiten mit dem dritten Term hab ich schon. Nur der erste bereitet mir Schwierigkeiten. Hab erst gedacht, weil ja das Integral linear ist, wäre $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\int \limits_0^\infty e^{-nx}xdx=\int \limits_0^\infty\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}xdx \end{eqnarray}$ . Aber gilt anscheinend doch nicht für unendliche Summen. Geometrische Reihe ausgerechnet. Ergebnis: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty e^{-nx}x=\frac{x}{1-e^{-x}}=\frac{x\cdot e^x}{e^x-1}\neq\frac{x}{e^x-1} \end{eqnarray}$ Hmm! Also, mir fällt jetzt auch nichts mehr ein, was ich versuchen könnte. Integrieren kann ich den ersten Term nicht. Und nicht mal MuPAD kann das. Deshalb geh ich davon aus, dass das niemand kann. Hab versucht, mir ne Folge von Treppenfunktionen drunter zu basteln, aber das sieht unheimlich kompliziert aus, und ich glaub nicht, dass ich damit zu irgendeinem Ergebnis komme. Irgendwelche Ideen?
21.06.2006, 21:25	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so. Ich glaub, ich hab mich verrechnet. Es gilt ja doch: $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{e^x}+\frac{x}{e^{2x}}+\frac{x}{e^{3x}}+... = \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}x \end{eqnarray}$ Schon wieder ein sinnloses Posting!

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