Integral - partielle Bruchzerlegung

17.09.2008, 19:28	datAnke	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral - partielle Bruchzerlegung hallo und schon mal danke ich brauch mal wieder ein bischen hilfe aufgabe: $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{x^3-2x^2+5x}~dx \end{eqnarray}$ nun habe ich partielle bruchzerlegung angewendet $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3-2x^2+5x}=\frac{a}{x} +\frac{bx+c}{x^2-2x+5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=ax^2-2ax+5a+bx^2+cx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=(a+b)x^2+(-2a+c)x+5a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2a+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5a =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{5} \quad b=-\frac{1}{5} \quad c=\frac{2}{5} \end{eqnarray}$ und nun weiss ich nicht so recht weiter, weil im nenner immer noch ein quadrat ist, die quadratische gleichung $\begin{eqnarray} x^2-2x+5 \end{eqnarray}$ hat keine loesung wie gehts nun weiter? danke datAnke
17.09.2008, 22:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Bruch lässt sich leicht integrieren. In die Trickkiste muss man jedoch beim zweiten Bruch greifen; wenn man den Weg jedoch einmal durchgespielt hat, ist er bei dieser Art von Integralen immer derselbe. Wir haben also zu berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \int~\frac{-x + 2}{x^2 - 2x + 5}~dx \end{eqnarray}$ Wir wollen nun erreichen, dass zumindest ein Teil des Bruches so geartet ist, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht, denn dann ist eine Stammfunktion der Logarithmus des Nenners. Das Integral des Restes des Bruches führt auf eine $\begin{eqnarray} \arctan \end{eqnarray}$ -Funktion, deren Argument ein mit einem konstanten Faktor behafteten Linearfaktor in x sein wird. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{x^2 + 1}~dx = \arctan x \end{eqnarray}$ Den Bruch trennen wir (die Fünftel lassen wir mal vorne stehen) in $\begin{eqnarray} \frac{-x + 2}{x^2 - 2x + 5} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2x - 4}{x^2 - 2x + 5} = -\frac{1}{2} \left [ \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 5} - \frac{2}{x^2 - 2x + 5} \right ] \end{eqnarray}$ Der erste Bruch in der eckigen Klammer lässt sich nun sofort leicht integrieren, beim zweiten betrachten wir jetzt nur $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2 - 2x + 5} = \ldots \end{eqnarray}$ und formen um zu $\begin{eqnarray} \ldots = \frac{1}{x^2 - 2x + 1 + 4} = \frac{1}{(x - 1)^2 + 4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(\frac{x - 1}{2})^2 + 1} \end{eqnarray}$ Das Integral des letzteren ist nun - wir ahnen es schon - $\begin{eqnarray} \ldots = \frac{(\frac{1}{4})}{(\frac{1}{2})} \cdot \arctan \left ( \frac{x - 1}{2} \right ) = \frac{1}{2} \cdot \arctan \left ( \frac{x - 1}{2} \right ) \end{eqnarray}$ Infolge der Kettenregel (Umkehrung beim Integrieren möglich, solange die innere Ableitung konstant ist) mussten wir durch den konstanten Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , welcher die innere Ableitung von $\begin{eqnarray} \frac{x - 1}{2} \end{eqnarray}$ darstellt, noch dividieren. Jetzt kannst du unter Berücksichtigung der auf der Strecke gebliebenen diversen Vorfaktoren das Endergebnis fertigstellen. mY+
18.09.2008, 07:49	datAnke	Auf diesen Beitrag antworten »
dank dir mYthos da waere ich alleine nie drauf gekommen, hoch lebe die trickkiste, wenn ich nur immer wuesste wo die gerade steht zwinker das ist eine super erklaerung, ich kann sie sehr gut nachvollziehen danke datAnke

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