Lebesgue-Integral bestimmen

22.06.2006, 01:16	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Integral bestimmen Liebe Genossinen und Genossen! Ich hab hier noch mal eine hübsche Aufgabe, die ich bis jetzt leider nur zur Hälfte gelöst habe: Intervall $\begin{eqnarray} X=[0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sei die Borel-Sigma-Algebra auf X. $\begin{eqnarray} f:~X \to X:~f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ Gesucht ist eine monoton steigende Folge von Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to\ \infty} g_n=f \end{eqnarray}$ . Gefunden ist sie auch schon. Nämlich: $\begin{eqnarray} g_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~\chi_{[\sqrt{\frac{i}{n}}, 1]} \end{eqnarray}$ Nun soll ich davon das Integral $\begin{eqnarray} \int_Xfdm \end{eqnarray}$ bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ das Borel-Maß auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sein soll. Nun ja. Das Integral sollte ja wohl gleich dem Riemannschen Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_0^1 f(x)dx=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ sein. Allerdings soll ich es auf die Lebesgue-Tour ausrechnen. Und das ist schwierig. Nach irgendeinem Satz, den wir in der Vorlesung hatten, gilt für eine monoton wachsende Folge von Funktionen: $\begin{eqnarray} \int\lim_{n \to \infty} f_ndm=\lim_{n \to \infty}\int f_ndm \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \int\limits_Xfdm=\lim_{n \to \infty}\int\limits_Xg_ndm=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}m([\sqrt{\frac{i}{n}}, 1])=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{\sqrt{n}-\sqrt{i}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty}(1-\sum_{i=1}^n\sqrt\frac{i}{n^3}) \end{eqnarray}$ Und das soll jetzt also gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ konvergieren. Da ich Analysis 1 geschwänzt hab, fehlt mir da glaub ich manchmal das Handwerkszeug, und ich seh nicht, wie ich das machen soll.
22.06.2006, 01:20	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ hab ich jetzt noch eine andere Folge von Treppenfunktionen gebastelt, bei der nicht die Höhe sondern die Tiefe der "Treppenstufen" konstant ist. Da sieht das Integral dann so aus: $\begin{eqnarray} sum_{i=1}^n(\frac{2i}{n^2}-\frac{2i^2-i}{n^3} \end{eqnarray}$ (keinen Bock jetzt den ganzen Konstruktionsweg aufzuschreiben), und da ist die Konvergenz nicht so schwer zu schreiben. Würd mich jetzt trotzdem interessieren, ob man die erste Version irgendwie einfach lösen kann.
22.06.2006, 01:22	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh, ich meinte $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n(\frac{2i}{n^2}-\frac{2i^2-i}{n^3}) \end{eqnarray}$ . Und "zu zeigen", nicht "zu schreiben".
22.06.2006, 07:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon handhabbarer aus als die erste Variante. Jetzt musst du doch nur noch die bekannten Summenformeln $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n ~ i = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum\limits_{i=1}^n ~ i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ einsetzen und vereinfachen.

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