Fußball []

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klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
Fußball []
Aktuell zur WM ein kleines mathematisches Problem (ich hoffe, daß es in der Rätsel-Rubrik einigermaßen gut aufgehoben ist):

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Ball auf dem Anstoßpunkt. Bevor der Ball bewegt wird, werden die Koordinaten jedes Punktes auf der Balloberfläche notiert. Nach dem Spiel wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt gelegt.

Man beweise die Behauptung: mindestens 2 Punkte der Balloberfläche befinden sich wieder an derselben Stelle wie zu Beginn des Spiels.
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung läuft darauf hinaus, dass zwei beliebige Positionen einer Kugel durch eine einfache Drehung um einen Durchmesser ineinander überführbar sind.

Dass dies möglich ist, ist (für mich) sicher, viel interessanter ist es, die resultierende Achse und den Drehwinkel zu bestimmen, wenn zwei aufeinanderfolgende Drehungen durch Achsen und Winkel gegeben sind. (Was dann auch als Beweis dienen könnte...)

(Das werden nette 5er Matrizen - hatten wir im Compuitergrafikuntericht mal...)

Edit: Alternativ kann man auch nachweisen, dass jede Drehung durch drei Drehungen um drei orthogonale, stationär feste Achsen abbildbar ist Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Habs mir gleich gedacht, daß das jemand weiß. Augenzwinkern
Ich hätte das besser auch als Rätselfrage stellen sollen:
Mindestens wieviel Punkte der Oberfläche befinden sich an derselben Stelle?

Nun gut. Aber man kann das Rätsel ja erweitern:
Wie sieht das aus mit Kugeln im R^4 bzw. R^5 ?
Kann man eine Aussage treffen für den R^n und wie sieht diese aus?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

phh, wenn ich einmal bei meinen MAtrizen bin... kann ich auch Matrizen und Vektoren im R^5 und R^6 bauen.

Drehmatrizen des Raumes n haben immer n Spalten und n+1 Zeilen...

Achja: Nur weil ich weiß, dass es geht, heißt das noch lange nicht, dass der Beweis trivial ist. Jeder ist eingeladen daran zu basteln - ist eine Menge schöner Beweise...
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

fußball ist doof
aber man muss noch ein bisschen schwerere Geschütze auffahren, um die Aufgabe in n Dimensionen zu lösen.
Wir betten die Sphäre S^(n-1) in den IR^n) ein. Eine Drehung des Balles ist dann die Operation einer Matrix aus SO(n)
Die Frage lässt sich also so umformulieren:
wieviele Fixpunkte muss eine Matrix aus SO(n) mindestens haben
dann gilt:
für n gerade kann man den IR^n mit dem IC^(n/2) identifiezieren, dann hat die Drehung, die durch Multiplikation mit i dargestellt wird, gar keine Fixpunkte.
für n ungerade hat SO(n) mindestens einen reellen Eigenwert. Dann liegen auf beiden Seiten der Null im eindimensionalen Eigenraum jeweils ein Fixpunkt. In ungeraden Dimensionen ergeben sich also mindestens 2 Fixpunkte. Diese Schranke ist scharf, wie man durch ein BSP, inspieriert vom geraden Fall, leicht einsehen kann
draufunddran Auf diesen Beitrag antworten »

echt ein cooles rätzel oder ne coole frage und ich versuch mir des grad so vorzustellen und vielleicht könnt ihr mir dan helfen.

Also mir is klar das wenn ich ne kugel um eine Achse des Haupkoordinatensystems drehe das dann zwei punkte gleich bleiben aber sobald ich ja um ne zweite achse drehen würde is des ja hinfällig.

hab mir hier mal ne kleine papier kugel gemacht (zusammengeknüllt) und auf der kann ich des auch nicht erkennen...


würd mich über eine "answer for dummys" freuen.... *g*


greetz draufunddran
 
 
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann muss ein fussballspiel ja 365 tage dauern Augenzwinkern
Xmas Auf diesen Beitrag antworten »

Also von meinem logischen aber nicht matritzenrechnungsbegabten 12.klässlervestand aus würde ich sagen:

Dreht man eine 3dimensionale Kugel nx um eine beliebige Achse so lässt sich die Gesamtdrehung als Drehung an einer dritten Achse festmahen. somit ist klar das 2 Punkte gleich bleiben.

Drehr man eine 4 5 oder n Dimensionale Kugel so gilt dennoch das sich eine beliebige anzahl von Drehungen als eine Gesamtdrehung darstellen lässt und somit die 2 bestehenden Punkte auch in diesen Räumen ihre gültigkeit haben.

Falls ich da was falsch sehe ... ich lerne immer gern was neues und unterwerfe mich jedem der mir logisch erklährn kann das ich im unrecht bin Gott
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