Orthogonale Gruppe

22.06.2006, 11:57	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Gruppe Hi, z.z. $\begin{eqnarray} \forall A \in O(2,\mathbb R) \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} \phi \in [0,2\pi ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & -cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Def: $\begin{eqnarray} B\in O(2,\mathbb R) \end{eqnarray}$ , bedeutet, dass $\begin{eqnarray} BB^t=E_2 \end{eqnarray}$ Hab mir bis jetzt folgendes gedacht: Ich nehme mir eine allgemeine Matrix her, berechne $\begin{eqnarray} BB^t \end{eqnarray}$ und vergleiche es mit der Einheitsmatrix Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (a_1)^2+(a_2)^2 & a_1b_1+a_2b_2 \\ b_1a_1+b_2a_2 & (b_1)^2+(b_2)^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf Grund von $\begin{eqnarray} sin^2(\phi)+cos^2(\phi)=1 \end{eqnarray}$ liegt es nahe, sich $\begin{eqnarray} a_1=b_2=cos\phi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_2=-sin\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1=sin\phi \end{eqnarray}$ zu definieren. Oder man wählt $\begin{eqnarray} a_1=cos\phi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_2=b_1=sin\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_2=-cos\phi \end{eqnarray}$ Bei beiden "WAhlen" werden zudem die Einträge links unten und rechts oben zu Null Da $\begin{eqnarray} sin\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos\phi \end{eqnarray}$ die Periode $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ haben, genügt es, das Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ zu betrachten. Ist es damit schon gezeigt? Hab noch eine Frage zum Berechnen der Eigenwerte/Diagonalisierbarkeit von $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E_2)=cos^2(\phi)-2\lambda cos(\phi)+{\lambda}^2+sin^2(\phi)={\lambda}^2-2\lambda cos(\phi)+1 \end{eqnarray}$ Mit der pq-Mitternachtsformel folgt $\begin{eqnarray} {\lambda}_{1,2}=cos(\phi)\pm \sqrt{cos^2(\phi)-1} \end{eqnarray}$ Gibt es daher nur einen Eigenwert, und das im Fall $\begin{eqnarray} \phi = 0 \end{eqnarray}$ ? Setzt man dann $\begin{eqnarray} \phi =0 \end{eqnarray}$ so ist A die Einheitsmatrix und derren Eigenwert(e) sind 1. Da A ohne die Wahl von $\begin{eqnarray} \phi =0 \end{eqnarray}$ nicht in Linearfaktoren zerfällt ist A nicht diagonalisierbar. Die Einheitsmatrix ist es, denn $\begin{eqnarray} P^{-1}AP=D \end{eqnarray}$ (D sei Diagonalmatrix) gilt für $\begin{eqnarray} P=E_2 \end{eqnarray}$ Habe ich es richtig, oder habe ich da was ganz falsch verstanden ?
22.06.2006, 12:14	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
dein Beweis sieht gut aus. zu den Eigenwerten hilft eine geometrische Interpretation. Der erste Typ Matrix sind Drehungen in der Ebene, der zweite eine Drehung plus eine Spiegelung. Eine Drehung hat in der Ebene nur den Nullpunkt als Fixpunkt, dementsprechend findest du keine (reellen) Eigenwerte und Eigenvektoren. Für $\begin{eqnarray} \phi \neq 0 \end{eqnarray}$ sind die Eigenwerte komplex, die Matrix ist also im reellen nicht diagonalisierbar. also: hast du schon richtig verstanden
22.06.2006, 12:24	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich habe in meinem ganzen Leben (Schule, Mathematik-Vorlesungen) noch nie was von einem Fixpunkt, bzw. einer Drehung gehört. Was ist das? Aber so wie ich deine Antwort verstehe, braucht man die Interpretation für die "Lösung" nicht unbedingt. Du behauptest, dass die MAtrix keine (reellen) Eigenwerte haben kann, doch was ist für den Fall $\begin{eqnarray} \phi =0 \end{eqnarray}$ ?, dann landet man doch bei der Einheitsmatrix, welche die Eigenwerte 1 hat. Darf ich deine Antwort zum Diagonalisierbaren wie folgt zusammenfassen? für $\begin{eqnarray} \phi = 0 \end{eqnarray}$ diagonalisierbar und für $\begin{eqnarray} \phi neq 0 \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar, da die Eigenwerte für $\begin{eqnarray} \phi \neq 0 \end{eqnarray}$ komplex sind?

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